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以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-1-前言同步奥数培优，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。注重素质提高学好数学的前提是要有兴趣，这是编写此套丛书的出发点。为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学习与使用。强化思维训练数学的学习是思维的学习。此套丛书在章节安排上，重视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的系统性。即能以知识为章，以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的认知相对完整。本书将本着自学能会，教师能辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的学习有所帮助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。全国奥数教练员：赵长林目录第一讲图形的面积（一）第一课时复习准备：1、钝三角形的底是12厘米，面积是60平方厘米。求高是多少？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-2-训练方法：这是一道已知面积和底求高的题，为了培养学生图形感觉，不生硬背公式，建议先画出三角形的高，再将两个完全一样的钝角三角形拼出平行四边形，理解三角形的高=三角形面积×2÷底的道理，还可以鼓励用方程解答，教材中有这样的例题。例题讲学例1已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。5厘米【思路点拨】4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28平方厘米，它的底为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简便的方法。同步精练1.下面的梯形中，梯形上底是15厘米，下底是25厘米，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。10厘米15厘米技巧4厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-3-5厘米6常规解法：先求出阴影三角形的高，也就是梯形的高，再求梯形面积奥数解法：运用知识，比的知识和登高的两个三角形，底扩大几倍，面积就扩大几倍。150×（15÷10+1）=375（平方米），这种做法，发散了学生思维，灵活运用知识，做到了算法多样化，有利于创新人才的培养。2．已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。3．如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米）9审题：有哪些信息？引导学生说出平行第三讲图形的面积（一）第二课时例题讲学例2下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。C46BEFAG乙甲126厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-4-仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA和FC，它们会相交（设交点为H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分（△AGB、△BFC及△AHC）的面积都能直接求出。同步精练1、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）2、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）第三讲图形的面积（一）第三课时HC46BEFAG乙甲43438855以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-5-例题讲学例3如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四边形ABCF）-（乙+四边形ABCF）=6（平方厘米）即：正方形ABCD-△ABE=6（平方厘米）这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再除以AB，就得到BE的长度，从而求出CE的长度。同步精练1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。求CF的长是多少厘米？4厘米ADEF乙BC甲4厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-6-2、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：（1）三角形DEF的面积。（2）CF的长。第四讲认识分数第一课时《知识概述》把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示a÷b=ba（b≠0）。分数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（0除外），分数的DACEBFCEADFB以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-7-大小不变，这就是分数的基本性质。例题精学例1：分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【思路点拨】真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是91的真分数一共有90个，分别是911，912，913……9190,其分子是1～90的自然数。在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。要求最简真分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。而91=7×13，在1～90的自然数中，7的倍数有13－1=12（个），13的倍数有7－1=6（个），这样分子可取的数一共有90－（12+6）=72（个）。同步精练1.分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多少个？2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？3.分数853aa中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小是多少？第四讲认识分数第二课时例2把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于98，原分数是多少？（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-8-题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在98的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以2所得到的分数是98，说明约分前是1816，这样原分数应是1716。第（2）题请你自己思考。同步精练1.一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是272，原分数是多少？2.一个分数约分成最简分数是73，原分子、分母的和是90，原分数是多少？第四讲认识分数第三课时例3分数13673的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是92，求减去的数。【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的分子与分母的差是136－73=63，得到的新分数的分子与分以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-9-母的差也是63.而新分数约分后变成92，9－2=7，因此可知约去的数是63÷7=9.新分数是9992=8118，这样就可以求出减去的数是多少了。同步精练1.133的分子、分母同时加上多少后就可以约分为31？2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是32，原来这个数是多少？3.一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为54，求这个分数第四讲认识分数第四课时例4分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数。【思路点拨】分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。原分数的分子、分母之和为55+64=119，说明新分数的分子、分母之和以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-10-也是119，而新分数约分后是134，分子、分母的和是4+13=17，因此可知约去的数是119÷17=7。新分数为912871374。这样可以推算出这个原数了。同步精练1.75的分子减去某数，而分母加上某数后约分为31，求某数。2.有一个分数，分子加上1可约分为31，分子减去1可约分为51，求这个数。3.一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21，求原分数是多少？练习卷1、填空题。（1）一个最简分数的分子、分母之积是30，这个最简分数是（）。（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是（）。以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-11-（3）分母是85的真分数共有（）个，分母是85的最简真分数共有（）个。（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是87，求原来的分数是（）。（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，化简后是521，求这个最简真分数是（）。2、分数121的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得21，求这个自然数。3、分数169的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为32，求这个数。4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为43，求原分数是多少？第五讲相遇问题相遇问题中数量之间的基本关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-12-【例1】：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行，公共汽车每小时40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。这时两车共行的路程为（450+90）千米。所以：（450-90）÷（40+50）=4（小时）或（450+90）÷（40+50）=6（小时）答：两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6再一次相距90千米。同步精练1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行。甲每分钟走66米，乙每分钟走59米。经过几分钟才能相遇？2、两地相距1200千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时行120千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300千米？【例2】甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小树，这以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、