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12012高一暑期补课数学讲义第三部分数列第一节等差与等比数列的性质的应用2课时知识梳理：一、等差数列、等比数列的基本性质等差数列等比数列定义an+1－an＝d1nnaa＝q通项公式an＝a1+（n－1）dan＝a1×qn-1中项a，A，b成等差数列2abAa，A，b成等比数列Gab（ab＞0）前n项和11212nnnaaSnnnad11,1,1;11nnnaqSqqSnaq二、等差数列、等比数列的性质条件等差数列等比数列1.m≤n，m，n∈N*an＝am+（n－m）dan＝am×qn-m2.m+n＝p+q（四．个正整数）an+am＝ap+aqan×am＝ap×aq3.距首尾等距的两项a1+an＝a2+an－1＝…（和相等）a1×an＝a2×an－1＝…（积相等）4.子数列的足码成等差数列，则子数列成等差数列成等比数列5.倒序数列成等差数列成等比数列6.间隔相等的等长片断和成等差数列，如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列成等比数列（片断和不能为零）典型例题：一、基本量运算[例1]（暑假15）已知等差数列{}na前三项的和为3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和.[解析]（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，则21aad，312aad，由题意得1111333,()(2)8.adaadad解得12,3,ad或14,3.ad所以由等差数列通项公式可得23(1)35nann，或43(1)37nann.故35nan，或37nan.（Ⅱ）当35nan时，2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37,3.nnnannn2记数列{||}na的前n项和为nS.当1n时，11||4Sa；当2n时，212||||5Saa；当3n时，234||||||nnSSaaa5(337)(347)(37)n2(2)[2(37)]311510222nnnn.当2n时，满足此式.综上，24,1,31110,1.22nnSnnn二、等差、等比数列的判断与证明等差数列等比数列1）利用定义若an－an－1＝d(常数)(n≥2)，则{an}是等差数列．若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．2）等差中项若数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则数列{an}是等差数列．若数列{an}中，an≠0且an＋12＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．3）通项法若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．4)前n项和法若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是证明等差或等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．(2)若要判定一个数列不是等差或等比数列，则只需判定存在连续三项不成等差或等比即可．[例2]（暑假16）.设na的公比不为1的等比数列，其前n项和为nS，且534,,aaa成等差数列。（1）求数列na的公比；（2）证明：对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列。3[例3]设数列{an}的首项a1＝a≠14，且an＋1＝12ann为偶数，an＋14n为奇数.记bn＝a2n－1－14，n＝1,2,3….(1)求a2，a3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．[解析](1)a2＝a1＋14＝a＋14，a3＝12a2＝12a＋18.(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，∴a5＝12a4＝14a＋316，∴b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，b3＝a5－14＝14(a－14)，猜想：{bn}的公比为12的等比数列．证明如下：∵bn＋1＝a2n＋1－14＝12a2n－14＝12(a2n－1＋14)－14＝12(a2n－1－14)＝12bn，(n∈N*)∴{bn}是首项为a－14，公比为12的等比数列．4三、等差、等比数列的性质等差数列的简单性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)S2n－1＝(2n－1)an.(2)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(3)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．[例4]等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260[解析]解法1：（利用方程思想）将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋nn－12d得ma1＋mm－12d＝30，2ma1＋2m2m－12d＝100.解之得d＝40m2，a1＝10m＋20m2.∴S3m＝3ma1＋3m3m－12d＝210.解法2：（设而不求、整体处理，利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质）根据等差数列性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法3：（数形结合思想的运用）∵Sn＝na1＋nn－12d，∴Snn＝a1＋n－12d，∴点(n，Snn)是直线y＝x－1d2＋a1上的一串点，由三点(m，Smm)、(2m，S2m2m)、(3m，S3m3m)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法4：（利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法）．令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.[例5]（暑假3）.已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）()A7()B5()C()D【解析】因为}{na为等比数列，所以87465aaaa，又274aa，所以2474aa，或4274aa，.若2474aa，，解得18101aa，，7101aa；若54274aa，，解得18110aa，，仍有7101aa，综上选D.四、等差数列前项n和最值若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，①若a10，d0，且满足an≥0，an＋1≤0，前n项和Sn最大；②若a10，d0，且满足an≤0，an＋1≥0，前n项和Sn最小；③除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用二次函数的图像或配方法求解；[例6].（暑假17）已知数列{an}的前n项和knnSn221，*Nk,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列}229{nna的前n项和Tn。[解析]五、等差等比综合应用[例7]已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析]本题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．(1)设{an}的公差为d，由已知得3a1＋3d＝6，8a1＋28d＝－4.解得a1＝3，d＝－1.故an＝3－(n－1)＝4－n.(2)由(1)的解答可得：bn＝n·qn－1，于是6Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1＝n·qn－qn－1q－1＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.所以，Sn＝nn＋12，q＝1，nqn＋1－n＋1qn＋1q－12，q≠1.反馈训练：一、选择题1设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9[答案]A[解析]a1＝－11，a4＋a6＝－6，∴a1＝－11d＝2∴Sn＝na1＋nn－12d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.＝(n－6)2－36.即n＝6时，Sn最小．2已知等比数列{an}中，an0，a1、a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．32B．6C．256D．±64[解析]由等比数列性质及韦达定理知(a50)2＝a1·a99＝16，∴a50＝4，a20·a80·a50＝a503＝64.∴选B.3设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝()A．1025B．1024C．10250D．10240[答案]C[解析]∵log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，∴log2xn＋1＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，xn＋1xn＝2(n∈N*)，又xn0(n∈N*)，所以数列{xn}是公比为2的等比数列，由x1＋x2＋…＋x10＝10得到x1＝10210－1，所以S20＝x11－2201－2＝10×(210＋1)＝10250.4已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数7n的个数是()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]由等差数列的性质可得anbn＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝A2n－1B2n－1＝72n－1＋452n－1＋3＝14n＋382n＋2＝7＋12n＋1.二、填空题5给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为______．a11a12…a19a21a22…a29…………a91a92…a99[答案]405[解析]S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.6.设{an}是等比数列，公比q＝2，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝17Sn－S2nan＋1，n∈N*，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝__________.[答案]4[解析]Tn＝17Sn－S2nan＋1＝17·a11－qn1－q－a11－q2n1－qa1qn＝171－qn－1－qn1＋qn1－q·qn＝1－qn16－qn1－q·qn＝11－q·qn＋16qn－17＝11－2·2n＋162n－17当且仅当(2)n＝162n时，Tn取得最大值，此时n0＝4.三、解答题7记等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.[解析]本题考查等差数列和等比数列的知识，渗透方程的思想，考查综合运算能力．设数列{an}的首项为a1，