高中数学几何体体积求法

几何体体积常见求法1二、等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。三、割补法不但是立体几何中求角、距离的常用方法，而且也是求几何体体积的常用方法．它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体，也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体，以便求体积．一、直接法2CPAB解法一：易知AO是PA的射影，且AO是∠BAC的平分线。故VP-ABC=O.3231POSABC.AOOABCPO连接于点平面作直线直接法.,60,2,1,求此三棱锥的体积中在三棱锥BACPACPABACABPAABCP例1由三余弦定理3330cos60coscosPAO36sinPAOPAOPPAOBAOPAOcoscoscos30coscos60cosPAO即3sin21PAOACABSABC而,36sinPAO3解法二（换底法）PABC.,,:,.360cos21221,222222PBCPAPCPAPBPAPBPAABPBPAB面故同理即中在.,PAPBC三棱锥的高为则为底面选平面D.32213131,21322PAPDBCPDSVBDPBPDPBC又4（割体法）取AB、AC的中点M、N，解法三：连接PM、PN、MN，则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=32112243MNPABC5PABCOQ解法四：明显地，P-ABC是棱长为2的正四面体，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC（补体法）延长AP至点Q，连接BQ、CQ，3221222136ABCDE练习1：正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，将它沿EC、ED折起，使A、B重合为点P，求三棱锥P-ECD的体积。.,,为底面选平面提示PCDPDPEPCPE33V答案PECD7例2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥B1—AD1C的体积。ABCDA1B1C1D18变式，四面体S-ABC的三组对棱分别相等，且依次为，求该四体的体积。25135，，分析：由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线相等，因此可将四面体补成一个长方体来解。9222222222(25)4(13)2354146183DSABxyxyzyzxzVVVVVV－四面体长方体长方体长方体长方体解：设长方体的三边长分别为x,y,z.则解得：＝－＝－＝SBDC10例3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积()。ABCDEF915..5.6.22ABCD11法一：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，整个多面体的体积为．故选D．15292ABCDEFGH12法三.由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，将几何体变形如图，使得EG=AB，三棱锥F-BCG的体积为：原几何体的体积为：11333232221315323222ABCDEFG13解：法三：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=3×3×3×2=6，又∵整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，∴所求几何体的体积V求＞VE-ABCD，13ABCDEF14例4.三棱锥P--ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=a，ED⊥PA，ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。PAD1132PABCPABDPACDBAPDCAPDBCEDBCBCPAVVVVVaha解：面，PABCED15网友精选，Baidu文库求体积的常用方法所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。小结当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,以便计算底面积和高.所给的是规范几何体,且已知条件比较集中时,就按所给图象的方位用公式直接计算体积.换底法直接法割补法17