因式分解-公式法--十字相乘法

知识点一、平方差、完全平方公式1计算下列各式，并根据左面的式子填空（1）)3)(3(xx，（1）92x（2）)4)(4(yxyx，（2）2216yx（3）)23)(23(nmnm，（3）2249nm思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？2．公式法：平方差公式：))((22bababa完全平方公式：222)(2bababa3.小结：分解因式的一般步骤为：（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式。（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。知识点二、运用平方差公式分解因式例1下列多项式能否用平方差公式进行因式分解（1）x2－9y2；（2）16x4－y4；（3）12a2x2－27b2y2；例2（1）（x+2y）2－（x－3y）2；（2）xyxy333；（3）aaxaxax23练习1（1）2220951ba；（2）164a；（3）m2（16x－y）+n2（y－16x）．（4）2xyx；（5）22)23()32(yxyx；（6）424255bmam练习2．（1）已知x+y=7，x－y=5，求代数式x2－y2－2y+2x的值．（2）．已知x+y+z=0，化简x2－y2+xz－yz．练习3．简便计算：（1）22171429（2）244852451522培优题：(1)222224)(baba(2))(42stss(3)1)3)(2)(1(xxxx知识点三、运用完全平方分解因式例1（1）229124baba（2）22816yxxy（3）2411xx（4）xyyx4422练习：把下列各式分解因式：（1）．1692tt（2）．412rr（3）．236121aa（4）．42242bbaa例2．把下列各式分解因式：（1）．122nnmm（2）．222nmmn（3）．axyaxyax2232（4）．22224)1(4)1(aaaa练习：把下列各式分解因式：（1）．nnmmyyxx42242510(2)．222yxyx(3)21222xx(4)161)(21)(2yxyx(5)nnmmyyxx2245105例3．利用因式分解进行计算：（1）．419.36.7825.03.2541（2）．2298196202202（3）．225.15315.1845.184例4完全平方公式的应用（1）．已知212ba，2ab求：42332444bababa的值．（2）．已知△ABC的三边为a,b,c,并且cabcabcba222求证：此三角形为等边三角形．（3）．已知cba,,是△ABC三边的长，且0)(22222cabcba你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．（4）．求证：不论为x,y何值，整式5422xyyx总为正值．知识点四：十字相乘法分解因式1计算下列各式，并根据左面的式子填空（1）))((qxpx，（6）pqxqpx2（2）))((qbxpax，（7）pqxbpaqabx)(2思考：观察第二组式子的左边有什么共同特征，写成乘积后又有什么共同特征？2二次三项式（1）多项式cbxax2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：322xx和652xx都是关于x的二次三项式．（2）在多项式2286yxyx中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222abba中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．3．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．4经典例题例1把下列各式分解因式：(1)1522xx；（2）（3）(4)2265yxyx．(5）120)8(22)8(222aaaa例2把下列各式分解因式：(1)3522xx；(2)3832xx．（3）32231212xxyxy例3把下列各式分解因式：（1）91024xx；(2))(2)(5)(723yxyxyx；(3)120)8(22)8(222aaaa．例4（1）90)242)(32(22xxxx（2）653856234xxxx（3）655222yxyxyx例5（重点）已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．练习：把下列各式分解因式：(1)22157xx(2)2384aa(3)2576xx(4)261110yy(5)2252310abab(6)222231710ababxyxy(7)22712xxyy(8)42718xx(9)22483mmnn课后练习一、选择题1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于()A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)2．如果305)(22xxbxbax，则b为()A．5B．－6C．－5D．63．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是()A．22xxB．xxx310322C．242xxD．22865yxyx5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．20)(13)(22yxyxB．20)(13)22(2yxyxC．20)(13)(22yxyxD．20)(9)(22yxyx6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()①672xx；②1232xx；③652xx；④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xxA．2个B．3个C．4个D．5个二、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724xx；(2)36524xx；(3)422416654yyxx；(4)633687bbaa；(5)234456aaa；(6)422469374babaa．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(xx(2)9)2(22xx；(3)2222)332()123(xxxx(460)(17)(222xxxx8)2(7)2(222xxxx；(6)48)2(14)2(2baba．