§1.5.3定积分的概念教案

11.5.3定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S2（n时）称为()bafxdx，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr2．定积分的几何意义如果在区间[,]ab上函数连续且恒有()0fx，那么定积分()bafxdx表示由直线,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。例1．计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）练习计算下列定积分1．50(24)xdx解：50(24)945xdx2．11xdx解：11111111122xdx12yxo3例2．计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解：201yxxxyx及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=11200xdxxdx，所以120S=(x-x)dx32130233xx=13在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习计算由曲线36yxx和2yx所围成的图形的面积.课堂小结：定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．课后反思：定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误