高中数学教案(带答案)——1.1--集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语本章知识结构图互逆互为逆否互逆互否互否等价关系关系原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若┐p,则┐q逆否命题：若q,则p集合集合元素的特征确定性、互异性、无序性集合的分类无限集有限集空集集合间的基本关系子集真子集相等集合间的基本运算交集A∩B并集A∪BVenn图、数轴充要条件充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件简易逻辑命题全称命题与存在性命题全称量词：任意；存在量词：存在复合命题且：p∧q或：p∨q非：┐p一假则假，两真为真一真便真，两假为假补集IAð第一节集合考纲解读1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．预测2020年以后的高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．知识点精讲一、集合的有关概念1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如,,,,abcacb．3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．4．常用数集的表示R一实数集Q一有理数集Z一整数集N一自然数集*N或N一正整数集C一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作aA)和不属于(记作aA)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作．2．集合与集合之间的关系（1）包含关系．子集：如果对任意aAAB，则集合A是集合B的子集，记为AB或BA，显然AA．规定：A．（2）相等关系．对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与B相等，记作AB．（3）真子集关系．对于两个集合A与B，若AB，且存在bB，但bA，则集合A是集合B的真子集，记作ABÜ或BAÝ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11所示．表11交集|ABxxAxB且并集|ABxxAxB或补集IAð|IAxxIxA且ð1．交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即|ABxxAxB且．2．并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即|ABxxAxB或．3．补集已知全集I，集合AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集I的补集，记作IAð，即|IAxxIxA且ð．四、集合运算中常用的结论1．集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质．ABBA，ABA，ABBAIA，AAA，A．（2）并集的运算性质．ABBA，AAB，BABAII，AAA，AA．（3）补集的运算性质．()IIAA痧，IIð，IIð()IAAð，()IAAIð．补充性质：IIIABAABBABBAAB痧?．IAðAIABAB（4）结合律与分配律．结合律：()()ABCABC()()ABCABC．分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC．（5）反演律（德摩根定律）．()()()IIIABAB痧?()()()IIIABAB痧?．即“交的补补的并”，“并的补补的交”．2．由*(N)nn个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2n个，非空子集有21n个，真子集有21n个，非空真子集有22n个．3．容斥原理()()()()CardABCardACardBCardAB．题型归纳及思路提示题型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1设,abR，集合1,,0,,bababa，则ba（）A．1B．1C．2D．2解析：由题意知01,,aba，又0a，故0ab，得1ba，则集合1,0,0,1,ab，可得1,1,2abba，故选C。变式1（2012新课标理1）已知集合1,2,3,4,5,(,)|,ABxyxAyA，则B中所含元素的个数为（）．A．3B．6C．8D．10变式2（2013山东理2）已知集合0,1,2,|,ABxyxAyA中元素的个数为（）．A．1B．3C．5D．9变式3若集合,,lg()0,||,xxyxyxy，则x，y．题型2集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．一、集合关系中的判断问题例1.2若|41,,|43,,|81,AxxnnZBxxnnZCxxnnZ，则A，B，C之间的关系为（）．A．CBA苘B．ABCÜC．CABÜD．ABC解析：解法一：集合B中元素434(1)1,xnnnZ，故集合AB，而集合C中元素421,xnnZ，故CAÜ．解法二：列举,7,3,1,5,9,,,7,3,1,5,9,AB，,7,1,9,C．因此CABÜ，故选C．评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．变式1设集合1|,24kMxxkZ，1|,42kMxxkZ，则A．MNB．MNÜC．MNÝD．MN例1.3设2|8150,|10AxxxBxax.（1）若15a，试判断集合A与集合B的关系；（2）若BA，求实数a组成的集合C.分析：（1）先求集合A，再由15a求集合B，确定A与B的关系.（2）解方程10ax，建立a的关系式求a，从而确定集合C.解析：（1）由28150xx得3x或5x，所以3,5A.若15a，得1105x，即5x，所以5B，故BAÜ.（2）因为3,5A，又BA.①当B时，则方程10ax无解，则0a；②当B时，则0a，由10ax，得1xa，所以13a或15a，即13a或15a故集合11035C，，.评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.（2）含参数的一元一次方程axb解的确定：当0a时，方程有唯一实数解bxa；当0ab时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当0a且0b时，方程无解.变式1已知集合2|3100Axxx，集合|121Bxpxp，若BA，求实数p的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4（2012大纲全国理2）已知集合1,3,,1,,AmBmABA，则m（）A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3解析：由ABA，得BA，故3m或mm且1m，所以0m或3.故选B.变式1已知集合|36,|,AxxBxxaaR，若AB，则实数a的取值范围是.变式2已知集合|1,|AxxBxxa，且ABR，则实数a的取值范围是.变式3已知集合2|1,PxxMa，若PMP，则a的取值范围是（）A．(,1]B．[1,)C．[1,1]D．(,1][1,)三、集合关系中的子集个数问题例1.5已知集合2|3100,AxxxxZ，则集合A的子集个数为.分析：本题应首先确定集合A中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合2|3100,2,1,0,1,2,3,4,5AxxxxZ，共8个元素，则集合A的子集的个数为82256.例1.6已知集合2|320,,|05,NAxxxxRBxxx，满足条件ACB的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：由1,2,1,2,3,4AB且ACB，得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集，即求集合3,4的子集的个数为224，故选D.变式1已知集合M满足*1,2|10,NMxxxÜ，求集合M的个数.题型3集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7已知集合22|1,,|9MyyxxRNxyx，则MN（）A．|13xxB．|13xxC．|13xxD．|14xx分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断M、N是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合M代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.解析：2|1,|1MyyxxRyy，22|9|90Nxyxxx，即|33Nxx，所以|13MNxx，故选C.评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合|(),yyfxxA是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合(,)|(),xyyfxxA是点集，表示函数()yfx图像上所有点的集合.再如集合22|1,,MxxyxyR，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合|11yy，表示的是数集[1,1]；2(,)|0,,NxyxyxyR表示的是曲线20xy，即抛的线2yx上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有MN.另如22(,)|4,|MxyxyNyyx，则有MN，而易错为(2,2),(2,2)MN.变式1集合2|03,|9PxZxMxRx，则PM（）.A．1,2B．0,1,2C．|03xxD．|03xx变式2已知集合1||3||4|9,|46,0AxRxxByRyxxx