解析几何初步

解析几何初步复习提纲一、直线方程1、倾斜角：当直线l与x轴相交时，x轴的正方向与直线l向上的方向所成的角，叫直线l的倾斜角；当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角等于00。倾斜角的取值范围是____,0________。2、直线的斜率（1）．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）．斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）．应用：证明三点共线：ABBCkk。注：①当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.3、直线的方程名称已知条件方程说明斜截式斜率ky轴上的截距bbkxy不包括垂直于x轴的直线点斜式点P1(x1,y1)，斜率k1yy=k（1xx）不包括垂直于x轴的直线两点式),(111yxP),(222yxP不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式x轴上的截距ay轴上的截距b1byax不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0注：1、直线Ax+By+C=0(B≠0)的斜率k=___。2、几种特殊的直线方程平行与x轴的直线____;x轴___________yb=；0y=平行与y轴的直线_____；y轴____________xa=；0x=经过原点(不包括坐标轴)的直线________________ykx=4．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；2．知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；3．与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；4．与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.5、过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该线系不含l2.121121xxxxyyyy注：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、三种距离：（1）A（x1,y1），B(x2,y2)，则|AB|=________________________。（2）A（x0,y0）,直线l：Ax+By+C=0,则A到直线l的距离d=_________________。（3）两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2之间的距离d=__________________。六．两直线的位置关系1l∶11bxky2l∶22bxky1l∶1Ax+1By+1C=02l∶2Ax+2By+2C=01l与2l组成的方程组平行21kk且21bb或0012211221CACABABA无解重合21kk且21bb有无数多解相交21kk有唯一解垂直121kk02121BBAA七、对称（中心对称和轴对称）问题点关于特殊直线的对称1)点（00,yx）关于x轴对称的点为（00,yx）；2)点（00,yx）关于y轴对称的点为（00,yx）；3)点（00,yx）关于原点对称的点为（00,yx）；4)点（00,yx）关于xy对称的点为（00,xy）；5)点（00,yx）关于xy对称的点为（00,xy）。（一）中心对称(中点坐标公式的应用)1.点点对称：点（00,yx）关于（ba,）对称的点为（002,2ybxa）；2.线点对称：（转化为点点对称）在待求直线上任取一点（yx,），它关于点（ba,）对称点（ybxa2,2）在已知直线上，代入已知直线化简即得所求直线方程。（二）轴对称1.点线对称：由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有00xxyy·k=－1，20yy=k·20xx+b，特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.2.线线对称（转化为点线对称）设a关于l对称直线为b（1）若a与l平行，则b与l也平行，且ba,到l的距离相等，利用平行线间距离公式求得。（2）若a与l相交，先求出la,交点P，再在上任取一点Q（异于交点），利用点线对称求出对称点Q'，则Q'在b上，212121CCBBAA)0(222212121CBACCBBAA2121BBAA可求出x′、y′.由P、Q'求出b的方程。二、直线与圆1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆新疆学案王新敞2.圆的标准方程：222)()(rbyax圆心为),(baC，半径为r，若圆心在坐标原点上，这时0ba，则圆的方程就是222ryx新疆学案王新敞注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程222)()(bbyax)],(),(,[bababr或圆心②与y轴相切的圆方程222)()(abyax)],(),(,[babaar或圆心③与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax)],(,[aaar圆心3．圆的一般方程：只有当0422FED时，022FEyDxyx①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程新疆学案王新敞当0422FED时，①表示以（-2D，-2E）为圆心,FED42122为半径的圆；4.1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy5．圆的参数方程：（1）圆心为原点半径为r的圆的参数方程sincosryrx为参数新疆学案王新敞（2）圆心为),(ba原点半径为r的圆的参数方程sincosrbyrax为参数新疆学案王新敞6．点与圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()(rbyax③M在圆C外22020)()(rbyax7.直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。（2）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；8．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，，半径分别为12,rr，则（1）当1212|OOrr时，两圆外离；（2）当1212|OOrr时，两圆外切；（3）当121212|OOrrrr时，两圆相交；（4）当1212|OO|rr时，两圆内切；（5）当12120|OO|rr时，两圆内含。9、圆的切线方程和切线长（一）切线方程①若点(x0,y0)在圆上，利用半径与切线的垂直关系求解特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出k切线方程.提醒：若求出一条，那么的考虑（斜率不存在的情况）注意：从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；（二）切线长1、过圆222()()xaybR）外一点00(,)Pxy所引圆的切线的长为22200()()xaybR2、过圆022FEyDxyx外一点00(,)Pxy所引圆的切线的长为10、弦长问题Rt△2221()2rda11、,圆系方程（1）相交圆系：1、圆与圆相交过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0，注：公共弦方程：设圆C1∶011122FyExDyx和圆C2∶022222FyExDyx．若两圆相交，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.特别的，如果两圆相切，则为公切线方程2、直线与圆相交过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线l：Ax＋By＋C=0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋(Ax＋By＋C)=0(R)．（2）同心圆系12、三角形的有关知识点（注意与直线问题的联系）重心———三角形重心是三角形三边中线的交点（重心将中线分为二比一）垂心———三角形垂心是三角形三边中线的交点三、线性规划1、确定二元一次不等式()00AxByC++表示的区域的步骤若下：①在平面平面直角坐标系中作出直线0AxByC++=②在该直线的一侧，任取一点()00Pxy，；当0C,常把原点作为特殊点;③将()00Pxy，代人AxByC++求值：00AxByC++④如000AxByC++,则包含点P的区域为不等式0AxByC++所表示的平面区域；不包含点P的区域为不等式0AxByC++所表示的平面区域。2、。解线性规划问题的方法①画出可行域（注意边界的虚实线）②对目标函数,0zaxbyb变形：得到直线:lazyxbb，画出直线0:alyxb③将直线0l在可行域中进行平移，平移至可行域的各个边界点④根据直线l的纵截距zb，以及b的正负，求出z的最值练习题：一、直线的方程1、求函数11363)(2424xxxxxxf的最大值。2、直线l的倾斜角]43,2()2,4[，则斜率k),1[]1,(3、已知)3,3(),2,6(),1,3(NMP，直线l过点P且与线段MN相交（1）求直线l的倾斜角的取值范围；（2）求直线l的斜率的取值范围.（答案（1）]65,4[（2）),1()33,(）4、已知θ∈[0,π]，则sin2cos3y的取值范围是__________5、直线的倾斜角为，满足cos3sin2，并且在y轴上的截距为1，求此直线方程（答案0223yx）6、若0,0bk时，则直线bkxy必不通过（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7、直线l经过P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为05yx或023yx8、已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形面积为8，求此直线方程.（答案：04yx或04yx）9、已知直线l过点P（-2，1），倾斜角与直线32xy的倾斜角互补，则直线l的方程是（C）A．)2(21xyB．)2(211xyC．)2(21xyD．)2(211xy10、Rm，直线012)1(myxm过定点（D）A．)21,1(B．)0,2(C．)3,2(D．)3,2(11、已知三点(),2Aa,()5,1B,()C4,2a-在同一直线上,a的值为.2a=或72a=若三点(2,2),(,0),(0,)(0)ABaCbab共线，则11ab的值等于1212、（1）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）；（2）直线120xkyk，不管k怎样变化恒过点______二、两直线的位置关系13、求经过点)1