平行线分线段成比例

3.2平行线分线段成比例湘教版·九年级上册图3-3是一架梯子的示意图.由生活常识可知：AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=CD，则A1B1=C1D1,由此可猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗?ABCDA1B1C1D1观察图3-3图3-4，已知直线a∥b∥c，直线l1,l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB,BC,和A1B1,B1C1,且AB=BC.求证：A1B1=B1C1ABCA1B1C1abcl2l1l3A2C2探究图3-4分析：过点B作直线l3∥l2，分别与直线a,c相交于点A2,C2。由于a∥b∥c，l3∥l2，“夹在两平行线间的平行线段相等”可知A2B=A1B1,BC2=B1C1,在△BAA2和△BCC2中，∠A2AB=∠C2CB（a∥c，内错角相等）∠ABA2=∠CBC2（对顶角相等）AB=BC所以△BAA2≌△BCC2(ASA)所以A2B=BC2所以A1B1=B1C1平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.注意：平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等ABCA1B1C1abcl2l1一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,结论又如何呢？几何语言表达：,////cba?.,,1CBAcbal于点，，交直线直线.,,1112CBAcbal于点，，交直线直线,BCAB?.1111CBBA??如图3-5，任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行直线a,b,c，分别度量l1,l2被直线a,b,c截得的线段AB,BC,A1B1,B1C1的长度.任意平移直线c，再度量AB,BC,A1B1,B1C1的长度，ABCA1B1C1abcl1l2动脑筋相等吗？与1111CBBABCAB还相等吗？与1111CBBABCAB图3-5ABCA1B1C1abcDD1dEFE1F1ef.3121,3232BCABBCABBCAB????得，?l1l2下面我们来证明：.63//3212??，如图于点，交作直线过点，二等分，分点为，则把线段假设DladDDABBCAB.////,112FElafaeFEFEBC，于点分别交，作直线，分别过点，三等分，三等分点为把线段.31,21BCFCEFBEABDBAD??????.FCEFBEDBAD?????.//////////cfebda?又.1111111111CFFEEBBDDA?????.323211111111???EBDACBBA由平行线等分线段定理可得：ABCA1B1C1abcl1l2.),(.),(,,,,,,,////11111111111121kCBBAkkBCABnmCBBAnmnmBCABCBBABCABcballcba????则为无理数其中若进一步可以证明，，则整数是正其中若和截得的线段分别为被直线直线类似地，可以证明：我们还可以得到：,1111BACBABBC?,1111CABAACAB?.1111CACBACBC?下上下上=上下上下=,1111CBBABCAB?上全上全=下全下全=两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.结论平行线分线段成比例定理ABCA1B1C1abcl1l2注意：1.一组平行线的数量为3条以上；3.对应线段的比相等是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的两条线段的比；4.常见的线段对应关系有：2.对应线段是指被平行线所截的线段；,1111BACBABBC?,1111CABAACAB?.1111CACBACBC?,1111CBBABCAB?下上下上=上下上下=上全上全=下全下全=ABCA1B1C1abcl1l2几何语言表达：,////cba?.,,1CBAcbal于点，，交直线直线.,,1112CBAcbal于点，，交直线直线,1111BACBABBC?,1111CBBABCAB??,1111CABAACAB?.1111CACBACBC?运用平行线分线段成比例定理的三种基本图形：ABCA1B1C1ABCA1B1C1ABCA1B1C1(1)两条截线无交点(2)两条截线的交点在三条平行线的外面(3)两条截线的交点在三条平行线的内部思考：平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系：ABCDEFABCDEF1当?BCAB1当?BCAB结论：后者是前者的一种特殊情况！.,5.13,2,////.11111111的长求已知例CBBABCABCCBBAA???CBA1A1B1C,////111CCBBAA?解：25.225.131????CB1,1111CBBABCAB??,5.13211CB?即(平行线分线段成比例定理)231.5？随堂练习.,2,1,3,////,,.1的长求已知且过点，直线相交于点如图，OCODOBOACDMNBAOMNOBDAC???ABCOMDN312,////CDMNBA?解：.6??OC,ODBOOCAO??,213?OC即(平行线分线段成比例定理)？如何求直线AC的长度？.,,12,4,3,2.,,,,,,////.2312321的长，求已知相交于点分别与直线的直线过点分别相交于点与直线如图，DKCKFMCDEMMBAMFEllEFMKMCDABllll????ABDMEFCKl1l2l323412？？？,////321lll?解：.6??MF,MBAMMFEM??,324?MF即(平行线分线段成比例定理),ABAMCDCK?同理,5212?CK即.524??CK.53652412??????CKCDDKEDCBA如图3-7，在△ABC中，已知DE∥BC,则成立吗？为什么？和ACAEABADECAEDBAD??分析：过点A作直线MN，使MN∥DE，∵DE∥BC,∴MN∥DE∥BC.又∵AB,AC被一组平行线MN,DE,BC所截，动脑筋MN图3-6.,ACAEABADECAEDBAD???同时还可以得到：.,ACECABDBAEECADDB??(平行线分线段成比例定理)由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.bcABCDEl1l2线段DE所在的直线a平行线段BC所在直线c，过点A作直线b平行直线b，若直线a截在两边的延长线上时，对应线段还成比例吗？由此可以得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例.成立吗？为什么？和即ACAEABADECAEDBAD??a成立平行线分线段成比例定理推论:∵DE∥BC，结论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.EDCBA几何语言表达：,CEAEDBAD??,AEECADDB?,ACAEABAD?.ACCEABDB?注意：平行线等分线段定理推论的条件(1)截线与三角形的两边(或两边的延长线)相交；(2)截线平行于三角形的第三边；运用平行线分线段成比例定理推论的三种基本图形:DEABCABCDEABCDE（1）截线在三角形的内部；(2)截线在三角形的顺向延长线上；(3)截线在三角形的反向延长线上；例2如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且DE//BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8。求AC的长.DEABC解:∵DE//BC,DBABCEAC??4.5?AC解得,2338.1??AC即注意：先把要求的线段作为比例式的第一项，再根据条件列出合适的比例式.例3如图,△ABC中，点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上，且DE//BC，DF//AC.FACB(1)证明：∵DE//BC,ABADACAE??又∵DF//AC，BCCFABAD??DE;1BCCFACAE?）求证：（;BCCFACAE??注意：若不能直接证明两组比相等，则可以证明这两组比分别与另一组比相等，从而通过等量代换证明这两组比相等.例4已知：AD是△ABC中∠BAC的平分线，求证：.BDABDCAC=CBDAE证明:过点C作CE//DA交BA的延长线于点E.则∠1=∠E,∠2=∠ACE,∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2,∴∠ACE=∠E,∴AC=AE,又∵CE//DA,;AEBADCBD??.ACBADCBD??12