椭圆的极坐标方程和应用

.WORD格式.资料.专业.整理椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为且过椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点2F的直线l交椭圆C于,PQ两点，椭圆C的离心率为e，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导22,,PFQFPQ，并证明:2211PFQF为定值改为：抛物线22(0)ypxp呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk的直线与C相交于,AB两点．若3AFFB，求k。练习1.（10年辽宁理科）设椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB，求椭圆C的离心率；例2.（07年全国Ⅰ）已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值．练习2.（05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆1222yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知.0,,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.例3.（07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为)0,3(F，右准线l的方程为12x.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,PPP，使133221FPPFPPFPP，证明：||1||1||1321FPFPFP为定值，并求此定值.QyOxP2FAyOxBF.WORD格式.资料.专业.整理推广：已知椭圆22221(0)xyabab,F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点12,,,nPPP,若122311nnnPFPPFPPFPPFP,则11||niinPFep，你能证明吗？练习3.（08年福建理科）如图，椭圆2222.1(0)xyabab的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OAOBAB,求a的取值范围.作业1.（08年宁夏文）过椭圆14522yx的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于BA,两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线l，点Al，线段AF交C于点B。若3FAFB,求AF。作业3.（15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆22221(0)xyabab上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点1(1,0)F和右焦点2(1,0)F，且ACBD，椭圆的一条准线方程为4x（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD面积的取值范围。练习4.（08年安徽文）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证：2422cosAB；（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求ABDE的最小值..WORD格式.资料.专业.整理作业5.已知以F为焦点的抛物线24yx上的两点A、B满足3AFFB,求弦AB的中点到准线的距离.参考答案：例1.练习1.例2..WORD格式.资料.专业.整理练习2..例3.解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222byax.因焦点为)0,3(F，故半焦距3c.又右准线l的方程为cax2，从而由已知36,1222aca，因此3327,622caba.故所求椭圆方程为1273622yx.（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,3)iiAFPi,不失一般性假设1203,且213124,33又设点iP在l上的射影为iQ,因椭圆的离心率12cea,据椭圆第二定义得2||||(||cos)iiiiiaFPPQecFPec1(9cos)2iiFP(1,2,3)i121(1cos)92iiFP(1,2,3)i.11112311121243(coscos()cos()9233FPFPFP又11111111241313coscos()cos()coscossincossin0332222.WORD格式.资料.专业.整理12311123FPFPFP(定值)方法二:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,3)iiAFPi,不失一般性假设1203,且213124,33,另设点(,)iiPxy,则||cos3,||siniiiiiixPFyPF点iP在椭圆上,22(||cos3)(||sin)13627iiiiPFPF11(2cos)9iiFP(1,2,3)i,以下同方法一12311123FPFPFP(定值)推广：引理1:(1)sincos()22coscos()cos(2)cos()sin2nnn.证明:1cossin[sin()sin()]2222-----------------------(1)13cos()sin[sin()sin()]2222----------------------(2)……12121cos()sin[sin()sin()]2222nnn----------(1n)将上述1n个式子相加得1211[coscos()cos()]sin[sin()sin()]2222nn(1)sincos()22coscos()cos()sin2nnn证明:记椭圆的右顶点为A,并设(1,2,,)iiAFPin,不失一般性假设120n,且2131124,,,nnnnn又设点iP在l上的射影为iQ,据椭圆第二定义得2||||(||cos)iiiiiaFPPQecFPec(1,2,,)in21(1cos)iiaeFPb(1,2,,)in.11121122(1){[coscos()cos()]}||niiannePFbnn在引理1中,令12,n,则11122(1)coscos()cos()nnn11(1)(1)sincos()sincos()220sinsin2nnnnn211||niinaPFb.练习3.解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以32OFMN,即1＝32,3.23bb解得＝2214,ab因此，椭圆方程为221.43xy(Ⅱ)设1122(,),(,).AxyBxy(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入整理得22222222()20,abmybmybab所以222212122222222,bmbabyyyyabmabm因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OAOBxyxyxxyy恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1xxyymymyyymyymyy2222222222222222222222(1)()210.mbabbmabmabmmabbabaabm又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a20对mR恒成立，即a2b2m2a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b20..WORD格式.资料.专业.整理a2a2b2-b2,a2(a2-1)b2=b4,因为a0,b0,所以ab2,即a2-a-10,解得a152或a152(舍去)，即a152,综合（i）(ii)，a的取值范围为（152，+）.解法二。作业1.作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解:过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.作业3..WORD格式.资料.专业.整理作业4.作业5.83