高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)

向量的夹角两向量的夹角范围是[0,]两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作，,则叫做向量a和b的夹角．AOB)1800(OB=bOA=aba记作90当，a与b垂直，当，a与b同向;0当，a与b反向180AOBOABBabAOOAB复习回顾物理中功的概念θsF一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，功是数量.||||sFWcos是F的方向与s的方向的夹角。新课引入平面向量的数量积的定义cos||||baba已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||ba规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a提问：向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？“”不能写成“”或者“”的形式ababab练习一：ABC60。CAB60。5824-20D（1）已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是，求p·q60。（2）已知中，=5,b=8,C=,求BC·CAaOABab1B平面向量的数量积的几何意义bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθcosabab几何意义:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。投影：|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影。练习二：1、已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的数量及；8ae3aeaeea、2、已知，，与的交角为，则2a3bab90oab；3、若，，共线，则1a3bab、ab.（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地22aaaaa或403或－3(a//ba·b=±|a|·|b|)m4、已知，，且，则与的夹角为3m4n6mnn；4cosabab60o5.abab与的大小关系如何？(5)abab平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地22aaaaa或4cosabab(a//ba·b=±|a|·|b|)(5)abab例1ABC已知中，CB=a,CA=b,a·b0,ab求与的夹角。ABCD解：设与的夹角为ab1sin2ADADACb又0abcos0abab为钝角则可作图如右：BCA即：为钝角150o＝例题讲解：abθ5253演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）、若，，则0a0ab0b（3）、若，，则0aabbcac(1)、若，则任一向量，有0ab0ab（4）、//ababab×在实数中，有(ab)c=a(bc)，向量中是否也有?为什么?答：没有.()()abcabc因为右端是与共线的向量，而左端是与共线的向量，但一般与不共线．acca所以，向量的数量积不满足结合律．所以，向量的数量积不满足消去律．在实数中，若ab=ac且a0，则b=c向量中是否也有“若，则”成立呢?为什么?(0)abacabcOababABC分配律的证明：aAcBCb1AB1Oabc().abcacbcrrrrrrr222(1)()2;abaabb22(2)()).ababab（2(1)())()ababab（)()abaabb（22abaabb(2)())()()abababaabb（例2求证：证明：22abaabb22.ab222.aabb(3)与所成角的余弦值．例3已知||=6，||=4，与的夹角为60，求：ab解：(1)ba(1)(2)(3);ababab(2)(3)abab6aaabbb22||6||aabb22664cos6064=72.a||ab(2)222||2abaabb(2)226264cos604=76.∴||219.ababbaθbbabba)(cos则()abbabbb28719cos.3821942||||cos60||28,abb注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值．(2):bab如图设与的夹角为(3)思考：已知||=3,||=4,且与不共线,当且仅当k为何值时,向量+k与k互相垂直?abababab巩固练习：1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是[0,]5、掌握五条重要性质平面向量的数量积的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的数量|b|cos的乘积2、a·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a·b=|a|·|b|cos可求两向量的夹角，尤其是判定垂直。课堂小结：1.课堂小结：2.向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。3.向量的主要应用是解决长度和夹角问题。0.abab0,（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且ABCAB·AC=，则这个三角形的形状是12C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且|a|=2|b|则a与b间的夹角的余弦值是。布置作业：1.已知，为非零向量，+3与75互相垂直，4与72互相垂直，求与的夹角．abababababab2.求证：直径所对的圆周角为直角．60提升题：