数学分析-课件-(完整版)

目录第十章数项级数§5无穷级数与代数运小结第十一章广义积分§1无穷限广义积分§2瑕积分第十二章函数项级数第十三章幂级数§1幂级数的收敛半径与收敛区域§2幂级数的性质§3函数的幂级数展开小结第十四章傅立叶级数§1三角级数与傅立叶级数§2傅立叶级数的收敛性§3任意区间上的傅立叶级数小结第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集§2多元函数的极限与连续性目录第十六章偏导数与全微分§1偏导数与全微分的概念§2复合函数微分法§3几何应用§4方向导数§5泰勒公式小结第十七章隐函数存在定理§1单个方程的情形§2方程组情形第十八章极值与条件极值§1极值与最小二乘法§2条件极值及Lagrange乘数法第二十章重积分§1重积分的概念§2重积分化累次积分§3重积分的变量代换§4曲面面积第二十一章曲线积分与曲面积分§1第一型曲线积分与曲面积分§2第二型曲线积分与曲面积分第二十二章各种积分间的联系与场论初步§1各种积分间的关系§2积分与路径无关§3场论初步第十七章—第二十二章的小结附录：二次型第十章数项级数§5无穷级数与代数运算有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。定理10.19若级数收敛，其和为，为自然数列，则亦收敛于1nnu12100kkppppp011kppjjkku.SS1.结合律对于收敛级数，可任意加括号，即2.交换律仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。定理10.19若级数绝对收敛，其和为，设为的任意重排，则亦绝对收敛，且和仍为1nnu.SS1nnu1knku1knku定理10.21（Riemann)若级数条件收敛，则经适当重排后，可使其和为任意的实数，或，，，或既不收敛，亦不发散于。1nnu3.分配律同样的，仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立1nnv1nnust),2,1,(jivuji.st定理10.22(Cauchy)若级数，绝对收敛，其和分别为，，则它们各项之积按任意方式排列后所得的级数亦绝对收敛，且和为第十一章广义积分§1无穷限广义积分定积分的两个限制积分区间的有界性被积函数的有界性实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的函数；量子运动；‥‥‥无穷限积分的定义设函数在有定义，在任意有限区间上可积。若存在，则称之为在上的广义积分，记为此时亦称积分收敛；若不存在，则称积分发散。)(xf)(xf),[a],[AaIdxxfAaA)(lim),[aAaAadxxfIdxxf)(lim)(adxxf)(adxxf)(AaAdxxf)(limP.S.为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。adxxf)(1.2.当，均收敛时，定义显然，的值与的选取无关。aAAadxxfdxxf)(lim)(adxxf)(adxxf)(aadxxfdxxfdxxf)()()(dxxf)(类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：a常用积分线性：当，均收敛时，11,111,1pppdxxp,,lkadxxf)(.)()()()(aaadxxgldxxfkdxxglxfkadxxg)(00,10,dxexChauchy收敛原理收敛TH11.2收敛收敛。Def.绝对收敛收敛；条件收敛发散而收敛。.)(,,,0,0AAdxxfAAAAadxxf)(adxxf)(.)(adxxfadxxf)(adxxf)(adxxf)(adxxf)(adxxf)(比较判别法I（直接比较）)(xf),[a],[Aa设函数在有定义，在任意有限区间上可积，（1）若，当时，则收敛收敛；（2）若，当时，则发散发散。,)()(xxfdxxa)(,0)()(xxf0B0BBxBxdxxfa)(dxxa)(dxxfa)(比较判别法II（用极限比较）)(xf),[a],[Aa设函数在有定义，在任意有限区间上可积，且（1）若，则收敛收敛；（2）若，则发散发散。dxxa)(dxxfa)(dxxa)(dxxfa)(,)(|)(|lim..0)(lxxftsxxl0l0比较判别法III（与比较）pxx1)(设函数在有定义，在任意有限区间上可积。（1）若则收敛；若则发散。（2）若则时收敛，时发散。)(xf),[a],[Aa,,|)(|..,,1BxxCxftsaBppdxxfa)(,,|)(|..,,1BxxCxftsaBppdxxfa)(,|)(|limlxfxpxdxxfa)(dxxfa)(1,0pl1,0pl特别地，我们若可利用Taylor公式，求得)(,)1()(xxoxlxfpp则时收敛，时发散，时,只能于时推得收敛。dxxfa)(dxxfa)(110ppl0l1pdxxfa)(Question我们将参照物取为幂函数，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数，结果又如何呢？无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？pxx1)(xex)(积分第二中值定理设在上可积，在上单调，则特别地，若单调上升且，则若单调下降且，则)(xf],[ba],[ba)1(.)()()()()()(dxxfbgdxxfagdxxgxfbaba)(xg..,],[tsba)(xg0)(ag)2(.)()()()(dxxfbgdxxgxfbba0)(bg)3(.)()()()(dxxfagdxxgxfaba)(xg..,],[tsba..,],[tsba几何解释（情形）1)(xf两个收敛判别法(Dirichlet)(Abel)收敛单调且有界dxxgxfxgxgdxxfaxAa)()(0)(lim)()(收敛单调有界收敛dxxgxfxgdxxfaa)()()()(两个有用的结果条件收敛dxxx1sin.1收敛dxx02sin.2.0)(lim)(xfdxxfxa收敛不可推出可见，习题(P.57)1.(2)(4)(5)2.(1)(9)(10)(14)(16)3.(1)(3)(5)9.§2瑕积分Def11.2设函数在有定义，在任意区间上可积，在无界。若存在，则称瑕积分收敛，且积分值为该极限值，记为若不存在，则称瑕积分发散。)(xf],(ba]),(](,[bababadxxf)(lim0;)(lim)(0babadxxfdxxfbadxxf)(badxxf)(P.S.发散时只是一个符号，不表示一个数值。badxxf)(badxxf)(lim0],(aa1.若为瑕点，2.若为瑕点，则当，均收敛时，定义babadxxfdxxf)(lim)(0bcdxxf)(cadxxf)(.)()()(bccabadxxfdxxfdxxf类似地，瑕点非左端点的瑕积分的定义为：b),(bac常用积分线性：当瑕积分，均收敛时，bappppabpdxax1,1)(1,)(11,,lkbadxxf)(.)()()()(bababadxxgldxxfkdxxglxfkbadxxg)(bappppabpdxxb1,1)(1,)(11暇积分与无穷限积分的关系设有唯一瑕点，令，我们有如是，我们可以将无穷限积分的性质推广至瑕积分中来。下面，我们不加证明地把关于瑕积分的收敛判别法列举出来。badxxf)(aaxy1ababbadyayfyaydayfdxxf121)1(1)1()1()(Chauchy收敛原理设有唯一瑕点收敛TH11.2收敛收敛。Def.绝对收敛收敛；条件收敛发散而收敛。.)(,,0,0,0aadxxfbadxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(badxxf)(.a比较判别法I（直接比较）设有唯一瑕点（1）若，当时，则收敛收敛；（2）若，当时，则发散发散。,)()(xxf,0)()(xxf0axadxxba)(dxxfba)(badxxf)(.a0axadxxba)(dxxfba)(比较判别法II（用极限比较）设有唯一瑕点且（1）若，则收敛收敛；（2）若，则发散发散。dxxba)(dxxfba)(dxxba)(dxxfba)(,)(|)(|lim..0)(lxxftsxaxl0l0badxxf)(.a比较判别法III（与比较）paxx)(1)(设有唯一瑕点（1）若则收敛；若则发散。（2）若则时收敛，时发散。,,)(|)(|..,0,1axaaxCxftsppdxxfba)(dxxfba)(,|)(|)(limlxfaxpaxdxxfba)(dxxfba)(1,0pl1,0plbadxxf)(.a,,)(|)(|..,0,1axaaxCxftspp设有唯一暇点(Dirichlet)(Abel)收敛单调且有界dxxgxfxgxgdxxfbaaxba)()(0)(lim)()(收敛单调有界收敛dxxgxfxgdxxfbaba)()()()(badxxf)(.a习题(P.64)1.2.(1)(3)(9)(11)(12)3.(1)(7)4.(2)5.(1)第十二章函数项级数对于非初等函数，我们通常可以将之表为函数项级数的形式。在本章中，我们主要研究这类函数的连续性，可导性及可积性。考虑，，定义nkknxuxS1)()(1)(nnxu;|)()(|,),(0,],[,0)()(lim,],[)(],[)(.11xSxSNnxNNbaxxSxSbaxxSbaxunnnnn有关与逐点收敛于在.|)()(|,],[,),(0,0)(],[)(.21xSxSbaxNnxNNxSbaxunnn无关与一致收敛于在一致收敛。而在不一致收敛，在例：)10(]1,0[]1,0[1,0)1,1(,1)(11xxxxnnn和函数的连续性，可积性条件若在连续，在一致收敛于，则（1）在连续；（2）即此时无穷和与极限，积分均可交换。),2,1(