2020年北京市高考数学试卷(有详细解析)

第1页，共15页2020年北京市高考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={𝑥|0𝑥3}，则𝐴∩𝐵=()A.{−1,0，1}B.{0,1}C.{−1,1，2}D.{1,2}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则𝑖⋅𝑧=()A.1+2𝑖B.−2+𝑖C.1−2𝑖D.−2−𝑖3.在(√𝑥−2)5的展开式中，𝑥2的系数为()A.−5B.5C.−10D.104.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6+√3B.6+2√3C.12+√3D.12+2√35.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.76.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑥−1，则不等式𝑓(𝑥)0的解集是()A.(−1,1)B.(−∞,−1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(−∞,0)∪(1,+∞)7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为𝑙.𝑃是抛物线上异于O的一点，过P作𝑃𝑄⊥𝑙于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP8.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=−9，𝑎5=−1.记𝑇𝑛=𝑎1𝑎2…𝑎𝑛(𝑛=1,2，…)，则数列{𝑇𝑛}()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.已知𝛼，𝛽∈𝑅，则“存在𝑘∈𝑍使得𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽”是“𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛽”的()第2页，共15页A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(𝜋𝐷𝑎𝑦).历史上，求圆周率𝜋的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2𝜋的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，𝜋的近似值的表达式是()A.3𝑛(sin30°𝑛+tan30°𝑛)B.6𝑛(sin30°𝑛+tan30°𝑛)C.3𝑛(sin60°𝑛+tan60°𝑛)D.6𝑛(sin60°𝑛+tan60°𝑛)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.函数𝑓(𝑥)=1𝑥+1+𝑙𝑛𝑥的定义域是______．12.已知双曲线C：𝑥26−𝑦23=1，则C的右焦点的坐标为______；C的焦点到其渐近线的距离是______．13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，则|𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=______；𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=______．14.若函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜑)+𝑐𝑜𝑠𝑥的最大值为2，则常数𝜑的一个取值为______．15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为𝑊=𝑓(𝑡)，用−𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎的大小评价在[𝑎,𝑏]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[𝑡1,𝑡2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在𝑡2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在𝑡3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；第3页，共15页④甲企业在[0,𝑡1]，[𝑡1,𝑡2]，[𝑡2,𝑡3]这三段时间中，在[0,𝑡1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E为𝐵𝐵1的中点．(Ⅰ)求证：𝐵𝐶1//平面𝐴𝐷1𝐸；(Ⅱ)求直线𝐴𝐴1与平面𝐴𝐷1𝐸所成角的正弦值．17.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎+𝑏=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)𝑎的值；(Ⅱ)𝑠𝑖𝑛𝐶和△𝐴𝐵𝐶的面积．条件①：𝑐=7，𝑐𝑜𝑠𝐴=−17；条件②：𝑐𝑜𝑠𝐴=18，𝑐𝑜𝑠𝐵=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：第4页，共15页男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(Ⅲ)将该校学生支持方案二的概率估计值记为𝑝0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为𝑝1.试比较𝑝0与𝑝1的大小．(结论不要求证明)19.已知函数𝑓(𝑥)=12−𝑥2．(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)的斜率等于−2的切线方程；(2)设曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑡,𝑓(𝑡))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为𝑆(𝑡)，求𝑆(𝑡)的最小值．20.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1过点𝐴(−2,−1)，且𝑎=2𝑏．(Ⅰ)求椭圆C的方程；第5页，共15页(Ⅱ)过点𝐵(−4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线𝑥=−4于点P，𝑄.求|𝑃𝐵||𝐵𝑄|的值．21.已知{𝑎𝑛}是无穷数列．给出两个性质：①对于{𝑎𝑛}中任意两项𝑎𝑖，𝑎𝑗(𝑖𝑗)，在{𝑎𝑛}中都存在一项𝑎𝑚，使得 𝑎𝑖2𝑎𝑗=𝑎𝑚；②对于{𝑎𝑛}中任意一项𝑎𝑛(𝑛≥3)，在{𝑎𝑛}中都存在两项𝑎𝑘，𝑎𝑙(𝑘𝑙)，使得𝑎𝑛=𝑎𝑘2𝑎𝑙．(Ⅰ)若𝑎𝑛=𝑛(𝑛=1,2，…)，判断数列{𝑎𝑛}是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若𝑎𝑛=2𝑛−1(𝑛=1,2，…)，判断数列{𝑎𝑛}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{𝑎𝑛}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{𝑎𝑛}为等比数列．第6页，共15页答案和解析1.D解：集合𝐴={−1,0，1，2}，𝐵={𝑥|0𝑥3}，则𝐴∩𝐵={1,2}，2.B解：∵复数z对应的点的坐标是(1,2)，∴𝑧=1+2𝑖，则𝑖⋅𝑧=𝑖(1+2𝑖)=−2+𝑖，3.C解：(√𝑥−2)5的展开式中，通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟⋅(−2)𝑟⋅𝑥5−𝑟2，令5−𝑟2=2，求得𝑟=1，可得𝑥2的系数为𝐶51⋅(−2)=−10，4.D解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，几何体的表面积为：3×2×2+2×12×2×√32×2=12+2√3．5.A第7页，共15页解：如图示：，半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆，故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB，A在OB上且𝐴𝐵=1，此时距离最小，由𝑂𝐵=5，得𝑂𝐴=4，即圆心到原点的距离的最小值是4，6.D解：不等式𝑓(𝑥)0，即2𝑥𝑥+1．由于函数𝑦=2𝑥和直线𝑦=𝑥+1的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示：不等式𝑓(𝑥)0的解集是(−∞,0)∪(1,+∞)，7.B解：不妨设抛物线的方程为𝑦2=4𝑥，则𝐹(1,0)，准线l为𝑥=−1，不妨设𝑃(1,2)，∴𝑄(−1,2)，设准线为l与x轴交点为A，则𝐴(−1,0)，可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，8.B第8页，共15页解：设等差数列{𝑎𝑛}的首项为d，由𝑎1=−9，𝑎5=−1，得𝑑=𝑎5−𝑎15−1=−1−(−9)4=2，∴𝑎𝑛=−9+2(𝑛−1)=2𝑛−11．由𝑎𝑛=2𝑛−11=0，得𝑛=112，而𝑛∈𝑁∗，可知数列{𝑎𝑛}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知𝑇1=−90，𝑇2=630，𝑇3=−3150，𝑇4=9450为最大项，自𝑇5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{𝑇𝑛}有最大项，无最小项．9.C解：当𝑘=2𝑛，为偶数时，𝛼=2𝑛𝜋+𝛽，此时𝑠𝑖𝑛𝛼=sin(2𝑛𝜋+𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛽，当𝑘=2𝑛+1，为奇数时，𝛼=2𝑛𝜋+𝜋−𝛽，此时𝑠𝑖𝑛𝛼=sin(𝜋−𝛽)=𝑠𝑖𝑛𝛽，即充分性成立，当𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛽，则𝛼=2𝑛𝜋+𝛽，𝑛∈𝑍或𝛼=2𝑛𝜋+𝜋−𝛽，𝑛∈𝑍，即𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽，即必要性成立，则“存在𝑘∈𝑍使得𝛼=𝑘𝜋+(−1)𝑘𝛽”是“𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛽”的充要条件，10.A解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得𝑎=2𝑠𝑖𝑛360°12𝑛=2𝑠𝑖𝑛30°𝑛，𝑏=2𝑡𝑎𝑛360°12𝑛=2𝑡𝑎𝑛30°𝑛，则2𝜋≈6𝑛𝑎+6𝑛𝑏2=6𝑛(sin30°𝑛+tan30°𝑛)，即𝜋≈3𝑛(sin30°𝑛+tan30°𝑛)，11.{𝑥|𝑥0}解：要使函数有意义，则{ 𝑥+1≠0𝑥0，第9页，共15页得{ 𝑥≠−1𝑥0，即𝑥0，即函数的定义域为{𝑥|𝑥0}，12.(3,0)；√3解：双曲线C：𝑥26−𝑦23=1，则𝑐2=𝑎2+𝑏2=6+3=9，则𝑐=3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为𝑦=±√3√6𝑥，即𝑥±√2𝑦=0，则点(3,0)到渐近线的距离𝑑=3√1+2=√3，13.√5；−1解：由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，可得P为BC的中点，则|𝐶𝑃|=1，∴|𝑃𝐷|=√22+12=√5，∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−1，14.𝜋2(答案不唯一)解：𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜑)+𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜑+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝜑+𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑐𝑜𝑠𝑥=√cos2𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)2sin(𝑥+𝜃)，其中𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑐𝑜𝑠𝜑√cos2𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)2，𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑠𝑖𝑛𝜑√cos2𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)2，所以𝑓(𝑥)最大值为√cos2𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)2=2，所以cos2𝜑+(1+𝑠𝑖𝑛𝜑)2=4，即2+2𝑠𝑖𝑛𝜑=4，所以𝑠𝑖𝑛𝜑=1，第10页，共15页所以𝜑=𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，当𝑘=0时，𝜑=𝜋2．15.①②③解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为𝑊=𝑓(𝑡)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为𝑊=𝑔(𝑡)．对于①，在[𝑡1,�