初二下数学分式方程经典例题及练习

----初二数学分式方程专题一、考点、热点回顾分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3）解整式方程;（4）验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为０,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。)分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？(1)审;(2）设;(3）列；（4)解；(5)答.应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种:(1)行程问题：基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(４)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．即时知识梳理1.分式方程:分母中含有的方程叫分式方程．2.解分式方程的一般步骤：(1)去分母,在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程;（2）解这个整式方程;(3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(验根的方法:将所求得的未知数的知数的值代入）3.列方程解决实际问题的步骤----(１）审;找出（2)设；(３）列；（4）解；检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义;(5）答;二、典型例题题型一:分式方程题型【例1】解下列分式方程（1）114112xxx;（２）xxxx4535；（3)4441xxxx；(4）61244444402222yyyyyyyy例2、解方程xxxxxxxx12672356练习：(1)11115674xxxx----（２)121043323489242387161945xxxxxxxx（3）【例2】（1)若关于x的方程211333xxkxxxx有增根,求增根和k的值（2）、ｍ为何值时,关于x的方程22432xmxxx会产生增根？解:方程两边都乘以x24，得2436xmxx整理,得()mx110242401111xxxxxxxx----当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根mxmxxxxmmxmmm11014022121012422101263462说明：分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根练习:１．若解分式方程2111xxmxxxx产生增根,则ｍ的值是(）Ａ.12或ﻩﻩB.12或Ｃ．12或ﻩﻩﻩD.12或分析：分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:xx01或，化简原方程为:21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或,故选择D。【例3】1、当k为何值时,关于x的方程1)2)(1(23xxkxx的解为非负数．２、若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.【例４】1、已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.----2、若关于的x的分式方程111132xmxxx无解，求m的值【例5】列分式方程解应用题:为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(１)班全体师生义务植树３00棵．由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的１．2倍，结果提前20分钟完成任务．请求原计划每小时植树多少棵?例６、某校办工厂将总价值为20０0元的甲种原料与总价值为4８00元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少３元,比乙种原料每千克多１元,问混合后的单价每千克是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题,与价格有关的是:单价、总价、平均价等,要了解它们的意义，建立它们之间的关系式.解：设混合后的单价为每千克x元，则甲种原料的单价为每千克(3)x元,混合后的总价值为(２0００＋4800)元，混合后的重量为x48002000斤，甲种原料的重量为32000x,乙种原料的重量为14800x，依题意,得:总价值价格数量甲2000元乙4８00元混合X元----32000x+14800x=x48002000，解得17x,经检验，17x是原方程的根,所以17x.即混合后的单价为每千克１７元.评析:营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念,要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式,巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题.练习A、Ｂ两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次,两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中,采购员A每次购买１000千克，采购员Ｂ每次用去800元，而不管购买饲料多少,问选用谁的购货方式合算?解：两次购买的饲料单价分别为每１千克ｍ元和n元(m＞０，n＞0,m≠ｎ),依题意,得：采购员Ａ两次购买饲料的平均单价为(元/千克),采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克）.而＞０．ﻫ也就是说，采购员Ａ所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算.例5、某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共８７00元,乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?⑵若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量.对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天,z天,可列出分式方程组.解:⑴设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成,依题----意可得：116()11110()11125()3xyyzxz，①，②．③①×61＋②×101+③×51，得x1＋y1＋z1=51．④④-①×61，得z1=301，即z＝30,④－②×101,得x1=101,即x=１0,④－③×51，得y1=151,即ｙ=15.经检验,x=10,y=１5,z=30是原方程组的解.⑵设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元,丙队做一天厂家需付c元,根据题意,得6()870010()95005()5500abbcca，，．800650300abc，，．由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱108000a元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b元.所以,由甲队单独完成此工程花钱最少．评析:在求解时，把x1，y1,z1分别看成一个整体,就可把分式方程组转化为整式方程组来解．练习:今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，２６40名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的２倍,结果甲比乙少用２小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？ﻫ----解:设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入２x名学生的成绩,依题意,得:ﻫ，解得x=11经检验，ｘ＝1１是原方程的解,且当ｘ=11时，2x=22，符合题意.ﻫ即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．例5、轮船顺流、逆流各走48千米,共需5小时,如果水流速度是４千米/小时,求轮船在静水中的速度。分析:顺流速度=轮船在静水中的速度＋水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度ﻩ等量关系：顺流用时+逆流用时=5(小时)练习：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,已知水流速度为２千米／时，求船在静水中的速度。分析:此题的等量关系很明显：顺水航行３０千米的时间=逆水中航行20千米的时间,即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20.设船在静水中的速度为x千米/时,又知水流速度,于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示,问题可解决.解:设船在静水中速度为x千米／时，则顺水航行速度为(2)x千米／时,逆水航行速度为(2)x千米／时,依题意，得路程速度时间顺流48千米(x+4）千米/小时逆流４8千米(x-4）千米/小时484x484x----230x=220x，解得10x.经检验，10x是所列方程的根.即船在静水中的速度是１0千米/时.三、实战训练选择题⒈下列约分正确的是()A、326xxxB、0yxyxＣ、xxyxyx12Ｄ、214222yxxy2、下列各式中,从左到右的变形正确的是()Ａ、yxyxyxyxB、yxyxyxyxＣ、yxyxyxyxD、yxyxyxyx3、甲、乙两地相距Ｓ千米,某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度()Ａ.SabﻩB.SavbC.SavabD.2Sab4如果关于x的方程2313xmxm有增根，则的值等于（）A.3ﻩﻩB.2ﻩＣ.1Ｄ.３5、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜９00kg和1500kg,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少30０ｋg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜xｋg,根据题意,可得方程()Ａ.9001500300xxﻩB.9001500300xxC．9001500300xxﻩﻩﻩD.9001500300xx填空1.当x时,分式x31有意义.2．化简1(1)(1)1mm的结果是.3.化简：（错误!-错误!)÷错误!的结果为。4.已知分式235xxxa,当x＝2时,分式无意义,则a=，当ａ6时,使分式无意义的x的值共有个.----5.当ｘ＝2时，分式11x的值是6.当x时,分式x31有意义．7.当x＝时,分式22xx的值为零.8.化简:2222222ababaabbab＝____＿__＿____＿____＿．9.若关于x的分式方程3132xmx有增根，则m=。1０解分式方程（3)（４）（5）22416222xxxxx（６）（）11244222xxxx（）22332726xx5511xxxxxx21321xxx1512----应用题1、南宁市2００6年的污水处理量为10万吨／天，2007年的污水处理量为34万吨/天,2007年平均每天的污水排放量是2０06年平均每天污水排放量的1.05倍，若2０07年每天的污水处理率比200６年每天的污水处理率提高40%(污水处理率污水处理量污水排放量)．（1）求南宁市2006年、2０07年平均每天的污水排放量分别是多少万吨?(结果保留整数)(2）预计我市２0１0年平均每天的污水排放量比２0０７年平均每天污水排放量增加20%,按照国家要求“2０10年省会城市的污水处理率不低于．．．70%”,那么我市2０1０年每天污水处理量在２007年每天污水