第3章-指数函数、对数函数和幂函数-复习课件

第3章指数函数、对数函数和幂函数复习课件一、知识网络整体构建二、要点归纳主干梳理三、题型探究重点突破栏目索引返回知识网络整体构建知识点一指数函数与对数函数的性质指数函数对数函数定义y＝ax(a＞0，a≠1)叫指数函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫对数函数定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象要点归纳主干梳理性质(1)图象经过(0,1)点，(2)a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.(3)a＞1，y＝ax在R上为增函数，0＜a＜1，y＝ax在R上为减函数(1)图象经过(1,0)点，(2)a＞1，当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.0＜a＜1，当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.(3)a＞1，在(0，＋∞)上y＝logax为增函数，0＜a＜1，在(0，＋∞)上y＝logax为减函数(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；(3)如果α0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．知识点二幂函数y＝xα的性质知识点三函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点四函数模型及其应用返回解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．题型探究重点突破解析答案例1(1)化简：÷1－23ba×3ab；解原式＝××a13b13＝×a13×a13b13＝a3b.213322333842aabbaba131112223333(8)(2)2()aabbaba1311332aab13(8)8aabab解析答案(2)计算：2log32－log3329＋log38－255log3.解原式＝log34－log3329＋log38－552log3＝log3(4×932×8)－552log3＝log39－9＝2－9＝－7.解析答案跟踪训练1(1681)34＋log354＋log345＝________.278解析(1681)34＋log354＋log345＝(23)－3＋log31＝278＋0＝278.题型二指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．解析答案(1)画出函数f(x)的图象；例2已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝12x.解先作出当x≥0时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．解析答案(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．解析答案跟踪演练2(1)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为________．解析作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．2(2)函数y＝x33x－1的图象大致是________．解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝x33x－1的定义域为{x|x≠0}，可排除①；当x＝－1时，y＝－1313－1＝32＞0，可排除②；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝6480，但从④的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除④.故填③.③解析答案题型三比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．解析答案例3设，b＝130.2，c＝213，则a，b，c的大小关系为________．12log3a解析＜0,0＜b＝130.2＜1，c＝213＞1，故有a＜b＜c.12log3aa＜b＜c跟踪训练3(1)判断大小：log32，log23，log25，__________________.(按从小到大排列)解析答案解析由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.log32log23log25解析答案(2)已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga3，y＝12loga5，z＝loga21－loga3，则x，y，z的大小关系为________．解析依题意，得x＝loga6，y＝loga5，z＝loga7.又0＜a＜1，5＜6＜7，因此有loga5＞loga6＞loga7，即y＞x＞z.y＞x＞z题型四函数的零点与方程根的关系及应用根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在考试中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视.例4已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)________0.(判断大小)解析如图所示，是y＝2x与y＝log12x的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是在(0，a)区间上，y＝2x的图象在y＝log12x的图象的下方，从而02x＜log12x0，即f(x0)＝01022logxx＜0.＜解析答案跟踪训练4设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是________.①(0,1);②(1,2);③(2,3);④(3,4).解析建立函数g(x)＝x3－22－x，计算判断g(0)、g(1)、g(2)、g(3)、g(4)的符号.设g(x)＝x3－22－x，则g(0)＝－4，g(1)＝－1，g(2)＝7，g(3)＝2612，g(4)＝6434，显然g(1)·g(2)＜0，于是函数g(x)的零点，即y＝x3与y＝12x－2的图象的交点在(1,2)上.②解析答案数形结合思想解决思想方法在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.解析答案解析易知函数f(x)的图象如图所示：例5已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则k的取值范围是______.由图可知0k1.0k1由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x3x2x1.解析答案跟踪训练5已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________.解析在同一坐标系内分别画出y＝－x，y＝2x，y＝－x，y＝lnx，和y＝－x，y＝－x－1的图象，x3x2x1转化与化归思想解决思想方法转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.例6设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数.解析答案跟踪训练6当a为何值时，函数y＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上.解已知函数对应的方程为7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则：f0＞0，f1＜0，f2＞0，即a2－a－2＞0，a2－2a－8＜0，a2－3a＞0，解得a＜－1或a＞2，－2＜a＜4，a＜0或a＞3，∴－2＜a＜－1或3＜a＜4.返回解析答案谢谢