著名机构七年级数学春季班讲义01-实数的概念及数的开方-教师版

1/23七年级春季班初一数学春季班教师日期学生课程编号01课型复习课课题实数的概念及数的开方教学目标1.了解实数的意义，会按要求对实数进行分类2.理解平方根与算数平方根的概念，熟练掌握负数没有平方根及非负数开平方的意义3.理解立方根和开立方的概念4.理解n次方根的概念和意义教学重点1.理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示2.掌握开立方、立方根和平方根的区别3.掌握n次方根基本的概念和性质教学安排版块时长1实数的概念和分类302数的开方403随堂检测304课后作业202/23七年级春季班知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率π是一个无理数．2、无理数也有正、负之分．如2、、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2、、0.101001000100001这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2，与，称它们互为相反数．050一实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3/23七年级春季班3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2，16，.0.5，0，23，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【难度】★【答案】2、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．例题解析4/23七年级春季班【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【难度】★【答案】一样．【解析】a是非负无理数实质上就是说a是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【难度】★★【答案】略．【解析】移项得：acdbx，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而ac是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0db，从而0ac，于是有：acbd，，当acbd，时，等式abxcdx成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】3为什么是无理数?请说明理由．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3pq，又因为p、q没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．把3pq两边平方，得223pq，即223qp．由于23q是3的倍数，则p必定是3的倍数．设3pm，则2239qm，同理q必然也是3的倍数，设3qn，既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，故3是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．5/23七年级春季班一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．如21x，1x，1的平方根是1．说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a表示a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）2aa，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“3a”表示，读作“三次根号a”，3a中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方．a叫做被开方数，n叫做根指数．2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．模块二：数的开方知识精讲6/23七年级春季班★注意：1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“na”表示．其中被开方数a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“na”表示，负n次方根用“na”表示．其中被开方数0a，根指数n是正偶数（当2n时，在na中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；4）零的n次方根等于零，表示为00n．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2）2(9)．【难度】★【答案】（1）311；（2）3．【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】写出下列各数的正平方根：（1）225；（2）9．【难度】★【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15；（2）93，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．例题解析7/23七年级春季班【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)的算术平方根；（3）是2的平方根；（4）81的平方根是9．【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1；（2）正确；（3）错误：2是负数，没有平方根；（4）2错：819，9的平方根是3．【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1；（4）3438；（5）27．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）6；（2）0；（3）1；（4）72；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1；（）（3）497；（）（4）2是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（3）错误：根号下某个数表示的是算术平方根，一定为正，所以497；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．8/23七年级春季班【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1）65；（2）56（3）913【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）因为86465819，所以65的整数部分为8，小数部分为658；（2）因为74956648，所以56的整数部分为7，小数部分为567；（3）因为3913164，所以59136，所以913的整数部分为5，小数部分为413．【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】求值：（1）144；（2）2(0.1)；（3）2(4)；（4）2(11)．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）12；（2）0.1；（3）4；（4）11．【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】求值：（1）364；（2）327125；（3）33264；（4）33527．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）4；（2）35；（3）原式=31255644；（4）原式=335382．【总结】考查实数的立方根的运用．9/23七年级春季班【例14】求值：（1）3216；（2）481；（3）5243；（4）26(8)．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）6；（2）3；（3）3；（4）2．【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】求值：（1）30.125；（2）3211610125；（3）32445200．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）0.5；（2）原式=372991255；（3）原式=3827100060．【总结】考查实数的立方根运算．【例16】小明的房间面积为17.62m，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少?【难度】★★【答案】0.4m．【解析】设每块地砖的边长是x米，则有：211017.6x，化简得20.16x，解得：0.4x即每块地砖的边长是0.4m．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】已知2a-1的平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，求2ab的值．【难度】★★【答案】3．【解析】由题意知：219a，3116ab，即210a，173ba解得：5a，2b，所以2549ab，那么293ab．【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．10/23七年级春季班【例18】若a的平方根恰好是方程3x+2y=2的一组解，求xyaa的值．【难度】★★【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a的两个平方根是相反数，那么yx，则有：32322xyxx，即2x，2y．那么由题意可得：4a，所以22125744161616xyaa．【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】若43xy，3(43)8xy，求2()nxy的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由题意可得：49432xyxy，解得：12xy，所以222()(12)(1)1nnnxy．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“”把下列各式连接起来：532，416，327，1n．【难度】★★【答案】4161n532327．【解析】因为5322；4162；3273；11n，所以得到：4161n532327．【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．11/23七年级春季班【例21】已知：31.732，305.477，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1）300_______；（2）3000____________；（3）30000_________；（4）0.3______________；（5）0.03___________；（6）0.003_____________．【难度】★★★【答案】略．【解析】（1）30031001.7321017.32；（2）3000301005.4771054.77；（3）300003100001.732100173.2；（4）0.3300.015.4770.10.5477；（5）0.0330.011.7320.10.1732