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1第1讲·目标班·教师版【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形知识切片满分晋级第1讲我会解三角形你会么？性质及简单运用三角函数3级三角函数的图象性质及简单应用三角函数4级我会解三角形你会么三角函数5级三角函数公式强化2第1讲·目标班·教师版中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（SSSSASASAAAS，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等.那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.在ABC△中的三个内角A，B，C的对边分别用abc，，表示：1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC．【教师备案】正弦定理的推导由三角形中的线段关系或者由三角形的外接圆可以直接得到，且2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC△的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了.利用三角形中的线段关系证明正弦定理：①在RtABC△中（如图），有sinsinabABcc，，因此sinsinabcAB，又因为sin1C，所以sinsinsinabcABC②在锐角ABC△中（如图），作CDAB于点D，有sinCDAb，即sinCDbA；sinCDBa，即sinCDaB，因此sinsinbAaB，即sinsinabAB，同理可证sinsinacAC，因此sinsinsinabcABC③在钝角ABC△中（如图），作CDAB，交AB的延长线于点D，则sinCDAb，即sinCDbA；1.1正弦定理与其在解三角形中的应用知识点睛cbaDCBAcbaDCBACBAcba3第1讲·目标班·教师版sin180sinCDBBa，即sinCDaB，因此sinsinbAaB，即sinsinabAB，同理可证sinsinacAC，因此sinsinsinabcABC利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设O为ABC△的外接圆的圆心，连BO并延长交O于A，连AC，则AA或πAA，∴sinsin2BCaAAABR，即2sinaRA，同理可证2sinsinbcRBC，故有2sinsinsinabcRABC当ABC△是钝角三角形时，类似地得出上述结论.利用向量知识证明正弦定理：①当ABC△是锐角三角形时，过A点作单位向量i垂直于AB，如图，∵ACABBC,∴iACiABBCiABiBCiBC，∴cos90cos90bAaB，得sinsinbAaB，得sinsinabAB②当ABC△为钝角三角形时，类似地得出上述结论2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS和ASA的条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA无法证明三角形全等的原因.2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：①当ABC△为锐角三角形时，若ab，则sinsinAB，又π02AB，，，正弦函数在此区间内单调递增，故AB；②当ABC△为钝角三角形时，若A为钝角，则由πAB得，πBA，又ππ02AB，，，故由正弦函数的单调性知：sinsinπsinBAA，从而由正弦定理知：ba．对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”.具体讨论如下：已知,ab和角A，若B为钝角或直角，则C至多有一个解；若B为锐角，得分情况讨论，如图：iCBAOA'CBA4第1讲·目标班·教师版无解的情况例如：3460bcB，，，求C．由sinsinbcBCsin4sin6023sin133cBCb，∴C无解，从而满足此条件的三角形不存在．这就是sincBb的情况．【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一边解三角形”后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形”时一定要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以让学生做例2的铺垫以及例2.考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】已知两角和任一边解三角形⑴已知ABC△中，abc，，分别是ABC、、的对边，3c，60A，45C，则a_______.⑵在ABC△中，30B，45C，1c，则b_______；三角形的外接圆半径R_______.⑶在ABC△中，已知8a，60B，75C，则b_______.【解析】⑴322⑵22；22已知30B，45C，1c，由正弦定理得：2sinsinbcRBC，所以sin1sin302sinsin452cBbC，1122sinsin4522cRC,22R⑶46由60B，75C，知45A，再由正弦定理有846sin45sin60bb经典精讲bsinAab,两解ab,一解absinA,无解ba=bsinA,一解ACB5第1讲·目标班·教师版考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①6031Aab，，；②3012Aab，，；③30610Aac，，；④150105Aac，，，其中有唯一解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解析】C①3sin32bA，又31∵，∴有唯一解；②sin2sin301bA，∴有唯一解；③sin10sin305610cA，∴有两解；④有唯一解.【例2】已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC△中，已知4522Aab，，，则B_______.⑵已知ABC△中，abc，，分别是ABC、、的对边，222345abA，，，则B_______.⑶已知ABC△，三个内角ABC，，的对边分别记为abc，，，若245cxbB，，，且这个三角形有两解，求x的取值范围．⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在ABC△中，角ABC、、所对的边分别为abc、、，若2a，2b，sincos2BB，则角A的大小为．【解析】⑴30根据正弦定理得：sinsinabAB，∴sin2sin451sin22bABa，ba∵，BA∴，B∴为锐角，即30B⑵60或120由正弦定理得，sin23sin453sin222bABa，∵sinbAab，∴这个三角形有两组解，即60B或120.⑶由正弦定理可得：sinsincbCB，解得：2sin4xC，由于三角形有两解，又45B，则45135C且90C，则2sin12C，即22124x，解得222x．【点评】本题的⑶也可用以下方法解，当sincBbc，即sin2xBx时，对应两个C的值，方程有两组解，解得222x．⑷π6由sincos2BB平方得12sincos2BB，即sin21B，因为0πB，所以π4B．又因为22ab，，所以在ABC△中，由正弦定理得：22sinsinAB，解得1sin2A．又ab∵，所以AB，所以π6A．【点评】易错点：忽略abAB的隐藏条件．多解．6第1讲·目标班·教师版【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS和SSS型，正弦定理处理的是对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos,2cos,2cos.cababCbacacBabcbcA它的变形为：222222222cos,2cos,2cos.2abcCabacbBacbcaAbc教师备案余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：2222()()2aBCBAACBAACBABAACAC22222cosπ2coscbcAbcbcAb．也可以通过坐标法及两点距离公式得到．建立合适的坐标系，如图，得cossin000AbCbCBaC，，，，，，从而有22(cos)(sin)ABcbCabC，整理得：2222coscababC.也可以通过三角形中的线段关系证明：在ABC△中，已知边ab，及C（为了方便起见，假设C为最大的角），求边c的长证明：当90C时，那么222cab当90C时，如图，无论C为锐角还是为钝角，都过A点做边BC的高，交BC（或延长线）于点D，这时高AD把ABC△分成两个直角三角形ADB和ADC，则sinADbC，cosBDabC，在RtADB△中，运用勾股定理，得222222sincoscADBDbCabC222cosababC2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：①已知两边和任意一个内角解三角形；②已知三角形的三边解三角形．1.2余弦定理及其在解三角形中的应用知识点睛bxyBCA(bcosC,bsinC)abcABCDDcbaCBA7第1讲·目标班·教师版【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就SSS和SAS型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例3，例3是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在0π，内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当cos0时，为锐角；当cos0时，为钝角；当cos0时，为直角；考点4的【铺垫】是直接根据三角形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例4是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.考点3：用