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本章要解决的问题1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？回答大数定律中心极限定理设非负随机变量X的期望E(X)存在，则对于任意实数ε0,εε)()(XEXP≤≥马尔可夫（Markov）不等式证仅证连续型随机变量的情形∫∞+=≥εεdxxfXP)()(∫∞+≤εεdxxfx)(∫∞+≤0)(1dxxxfεε)(XE=重要不等式大数定律设随机变量X的k阶绝对原点矩E(|X|k)存在，则对于任意实数ε0,kkXEXPεε)|(|)|(|≤≥推论1设随机变量X的方差D(X)存在，则对于任意实数ε0,2)()|)((|εεXDXEXP≤≥−推论2——契比雪夫(chebyshev)不等式或2)(1)|)((|εεXDXEXP−≥−当ε2≤D(X)无实际意义,例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中,良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)⎟⎠⎞⎜⎝⎛−01.0616000XP65000)(,1000)(==XDXE)60|1000(|−=XP260650001−≥7685.010883==实际精确计算()1060940=XP⎟⎠⎞⎜⎝⎛−01.0616000XP∑=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=1059941600060006561kkkkC959036.0=用Poisson分布近似计算()1060940=XP⎟⎠⎞⎜⎝⎛−01.0616000XP937934.0=∑=−=10599411000!1000kkke取λ=1000例2设每次试验中，事件A发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计,n多大时,才能在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?解设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,0.75)nXDnXE1875.0)(,75.0)(==90.076.074.0≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛nXP要使，求n即()90.076.074.0≥nXnP即()90.001.0|75.0|≥−nnXP由Chebyshev不等式，ε=0.01n,故()2)01.0(1875.0101.0|75.0|nnnnXP−≥−令90.0)01.0(1875.012≥−nn解得18750≥n大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是每次试验中A发生的概率,则0∀ε有0lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≥−∞→εpnnPAn或1lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→εpnnPAn定义a是一常数，()0lim=≥−∞→εaYPnn(或())1lim=−∞→εaYPnn则称随机变量序列LL,,,,21nYYY依概率收敛于常数a,记作aYnPn∞→⎯⎯→⎯故pnnnPA∞→⎯⎯→⎯LL,,,,21nYYY是一系列随机变量，设0∀ε有若Chebyshev大数定律LL,,,,21nXXX相互独立，设随机变量序列(指任意给定n1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差nXXX,,,21LL,2,1,)(,)(2===kXDXEkkσμ则0∀ε有01lim1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≥−∑=∞→εμnkknXnP或11lim1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∑=∞→εμnkknXnP