多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1.基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。2.重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。2)多元函数的定义、定义域。3)二元函数的极限、连续。(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。(2)计算方法1)偏导数：),(yxfz在),(00yx处对x的偏导数0xxxz，就是一元函数),(0yxfz在0xx处的导数；对y的偏导数0xxxz（同理）。2)`全微分：),(yxfz的全微分dyyzdxxzdz3)复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。A.设),(vufz，)(),(tvtu，则全导数dtdvvzdtduuzdtdz。B.设),(vufz，),(),,(yxvyxu则：xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz。4)隐函数求导法则：A.设函数)(xfy由隐函数0),(yxF确定，则yxFFdxdy。B.设函数),(yxfz由隐函数0),,(zyxF确定，则zxFFdxdz，zyFFdydz。C.设函数)(),(xgzxfy由隐函数方程组0),,(0),,(zyxGzyxF确定，从0)()(0)()(xgGxfGGxgFxfFFzyxzyx，求出导数)(),(xgxf。(3)多元函数连续、可导、可微的关系(4)基本定理1)可微的必要条件：如果函数),(yxfz在点),(yx处可微分，则函数在点),(yx处偏导数必定存在，且全微分为yyzxxzdz。2)可微的充分条件：如果函数),(yxfz的偏导数yzxz,在点),(yx处连续，则函数在该点必可微，且dyyzdxxzdz。3.多元函数微分学的应用(1)方向导数和梯度1)方向导数A.定义：),(),(lim0yxfyyxxf，22)()(yxB.计算方法：coscosyfxflf2)梯度A.定义：jyfixfyxgradf),(B.函数在一点的梯度grad),(yxf是一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。3)方向导数和偏导数的区别和联系A.都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是沿坐标轴方向（两个方向）的变化率；B.方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。(2)在几何上的应用空间曲线),,(0000zyxM为曲线上一点Tttzztyytxx,)()()(1、切线方程：)(')(')(000000tzzztyyytxxx2、法平面方程：0))(('))(('))((000000zztzyytyxxtx0),,(0),,(zyxGzyxF1、切线方程：)(')('100000MzzzMyyyxxxx2、法平面方程：0))(('))((')(00000zzMzyyMyxxxX空间曲面),,(0000zyxM为曲面上一点),(yxfz1、切平方面方程))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx2、法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx0),,(zyxF1、切平面方程0))(())(())((000000zzMFyyMFxxMFzyx2、法线方程)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx(3)极值问题1)无条件极值A.极值的必要条件：若函数),(yxf在点),(000yxP处达到极值，且偏导数都存在，则0),(00yxfx，0),(00yxfy。B.极值的充分条件：设函数),(yxf在点),(000yxP的某个邻域)(0PU内有连续的二阶偏导数，且0),(00yxfx，0),(00yxfy，记),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，则02BAC02BAC02BAC),(),0,(000yxfCorA为极小值),(),0,(000yxfCorA为极大值),(00yxf不是极值无法判断2)条件极值及其求法：A.定义：函数),(yxf在条件0),(yx下的极值，称为条件极值。B.计算方法：拉格朗日乘数法：将该问题化为求函数),(),(),,(yxyxfyxL的无条件极值，因此从0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx中求出的),(00yx，就是函数),(yxf在约束条件0),(yx下的可能的极值点。(4)最值问题1)设函数),(yxf在开区间D内连续，),(00yx是D内唯一的极值点，如果该点是极大（小）点，则该点是最大（小）点，),(00yxf为最大（小）值。2)设函数),(yxf在有界闭区域D上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上的最值和D内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值点，则该点就是所求的最值点三、典型例题分析1.多元函数的定义域、极限和连续1、求定义域和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。例1：求函数)1ln(arcsin222yxxyyxz定义域解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定义域0,111101022222xxyyxyxyx从而}0,10,|),{(22xyxxyxyxD2、复合函数问题在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。例2：求下列复合函数问题(1)设222),(yxxyyxf，求),1(xyf(2)设xxyxxyxfln1)1()ln,(，求),(yxf解：（1）由222),(vuuvvuf，令xyvu,1，则),1(xyf222yxxy（2）令xvyxuln,，则vveuyex,，从而：vvvveeeuevufln1)1(),(veeuuvv)(，所以yeexxyxfyy)(),(3、二重极限和连续性(1)在一元函数极限中，0xx只有三种形式，而在二元函数的重极限中，),(),(00yxyx的方式有无穷多种，这是两者的本质区别，不要轻易用求累次极限去代替求重极限。(2)求),(lim),(),(00yxfyxyx时，可用连续函数的极限值等于函数值，等价无穷小的代换，重要极限，恒等变换约去零因子，夹逼定理等。(3)通常用取不同路径的极限不相等来说明),(lim),(),(00yxfyxyx不存在。例3：求下列极限(1)22)0,1(),()ln(limyxxeyyx(2)xyeyxyxcos1)1ln(lim2)1,0(),(解：（1）22)0,1(),()ln(limyxxeyyx2ln01)11ln()01(处连续，在（2）xyeyxyxcos1)1ln(lim2)1,0(),(22)1,0(),()(21limxyyxyx等价无穷小22lim)1,0(),(yyx例4:证明：函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422yxyxyxxyyxf分别对x和y是连续的，但在原点函数),(yxf不连续。证：当)0,0(),(00yx时，有),(lim),(lim0040020040220000yxfyxyxyxxyyxfxxxx，当)0,0(),(00yx时，有)0,0(000lim),(lim2000fxxyxfxxx，所以),(yxf对变量x连续，同理对变量y也连续。但当点),(yx沿2,yxyx趋于原点时极限为：01limlim204220yyyxxyyyxyyx，21limlim4440422022yyyyxxyyyxyyx故在原点函数),(yxf不连续2.多元函数微分法例5：设zyxu)(，求zyxuuu,,。解：zzzxyzxyyxzu111)(，121)()(zzzyyzxyxyxzu，)ln()(xyyxuzx例6：设xyztanln，求yyxyxxzzz,,解：)2csc(2)tan()(sec))(tan()tan(12xyyyxyxyxyxyzxx，)2cot()2(csc(42xyxyyzxx；xyz)2cot()2csc(4)2csc(2xyxyxyxy；)2cot()2(csc(42xyxyxzyy（由yx,位置的对称性）。例7：求yxyz)1(的全微分121)1()1()1(yxyxxyyxyxyyz由)1ln(lnxyyz，两边对y求导]1)1[ln()1(xyxyxyxyzyy所以：dyxyxyxyxydxxyydzyy]1)1[ln()1(])1([12例8：设222),,(zyxezyxfu,yxzsin2,求xu，yu解:xzzuxfxu)sin2(22222222yxezexzyxzyx)sin21(2222yzxezyxyzzuyfyu)cos(222222222yxezeyzyxzyx)cos(22222yzxyezyx例9：),2(22xyxfxz，f具有二阶连续偏导数，求yxzz,解：221222fyfxxfzx，22222fxyxyfxzy3．隐函数、参数方程的偏导数隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。例10：设zxezxy，求xz，yz解：令zxezxyzyxF),,(则1zxyzxyyFFxzzx，1zxyxFFxzzy例11：设0),(zyzxF，其中F具有连续的一阶偏导数，证明zyzyxzx。证明：zFFx11，zFFy12，)(1)()(2122221FyFx