钦州港开发区2015年秋高三数学(理)期末考试试题及答案

钦州港经济技术开发区中学2015年秋季学期期末考试高三理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合22{|log(6)},Mxyxx2{|1,}NyyxxR，则集合MN（）A.(2,)B.(2,3)C.[1,3)D.R2．已知随机变量X服从正态分布2(1,)N，若(22)(34)PXaPXa，则a（）A.6B.25C.15D.03.执行图中所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A.3B.3C.2D.24.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）5.从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）A.119B.1718C.419D.2176.若0ab，则下列不等式中总成立的是（）A.11abbaB.11ababC.11bbaaD.22abaabb7.由直线xy2及曲线224xy围成的封闭图形的面积为A．1B．3C．6D．98.某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A．34B．3C．23D．[来源:学|科|网Z|X|X|K]9.若执行右面的程序框图，则输出的k值是A．4B.5C.6D.710.从抛物线xy42图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且5||PM，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为A．10B．20C．40D．8011.实数yx,满足条件**02204NyNxyxyx，则yxz的最小值为A．2B．1C．0D．112.已知函数)1(xfy的图象关于点)0,1(对称，且当)0,(x时，0)()(xfxxf成立（其中)(xf是)(xf的导函数），若),3(log)3(log),3(33.03.0fbfa)91(log)91(log33fc，则cba,,的大小关系是A．cbaB．bacC．abcD．bca二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知2zxy，,xy满足,2,,yxxyxa且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是____.14.抛物线214yx的焦点F到双曲线2214xy渐近线的距离为_______.15.已知627012712(1)(1)...(1)xxaaxaxax，则3a_______.16.设正实数,,xyz满足2240xxyyz，当zxy取最小值时，则4xyz的最大值为_______.31nn开始n=3，k=0n为偶数n=8输出k结束k=k+1是否是否2nn三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知cba,,分别为ABC三个内角CBA,,所对的边长，且.53coscoscAbBa（Ⅰ）求BAtantan的值；（Ⅱ）若60A，求222sincbaCab的值.18．（本小题满分12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人[来源:Z*xx*k.Com]30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，且90PABABC，//ADBC，2PAABBCAD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE平面PBC；（Ⅱ）求二面角APDE的余弦值．EBACPD20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，经过椭圆C：22221(0)xyabab的一个焦点的直线30xy与C相交于,MN两点，P为MN的中点，且OP斜率是14．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l分别与椭圆C和圆D：222()xyrbra相切于点AB、，求||AB的最大值．21.已知正项数列nnab、中，111,2ab，na，nb，1na成等比数列，nb，1na，1nb成等差数列，(1)证明na是等差数列，并求na的通项公式；（2）令4141nnnaca，前n项和为nS，求使2016nS的最大自然数n22.如图，分别过椭圆E：)0(12222babyax左右焦点1F、2F的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率1k、2k、3k、4k满足4321kkkk．已知当l1与x轴重合时，32||AB，334||CD．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在定点M、N，使得||||PNPM为定值．若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．答案：1C2D3B4B5D6A7．D8．C9．A10．A11．C12．B13.1414.25515.2516.3217．解：（Ⅰ）由正弦定理CcBbAasinsinsin，得,sin53cossincossinCABBA又BABABACsincoscossin)sin(sin，,cossin58cossin52ABBA可得.4cossincossintantanABBABA…………(6分)（Ⅱ）若60A，则3tanA，得,43tanBabcbaC2cos222，2351tantantantan21)tan(21tan21cos2sinsin222BABABACCCcbaCabAOPDCBxy1l2l1F2F（第22题）…(12分)18.解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310人，……2分故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110CPC………4分（Ⅱ）女生志愿者人数0,1,2X则21222033(0)95CPXC1112822048(1)95CCPXC2822014(2)95CPXC……………9分∴X的分布列为……………10分X012P339548951495∴X的数学期望为33481476()01295959595EX……………12分19.（Ⅰ）证明：侧面PAB底面ABCD，且90PABABC，//ADBC，所以PAAB，PAAD，ADAB，如图，以点A为坐标原点，分别以直线AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.………………………………2分设22PAABBCAD，E是PC的中点，则有，(0,0,2)P，(1,0,0)D，(0,2,0)B，(2,2,0)C，(1,1,1)E，于是(0,1,1)DE，(0,2,2)PB，(2,2,2)PC，因为0DEPB，0DEPC，所以DEPB，DEPC，且PBPCP，因此DE平面PBC…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量为(0,2,0)AB1n，设平面PCD的法向量为2(,,)xyzn，(1,0,2)PD，(2,2,2)PC，则220,0,PDPCnn所以20,2220,xzxyz不妨设1z，则2(2,1,1)n，于是1226cos,662nn，…………………………………………………10zxyEBACPD分由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角APDE的余弦值为66．……………12分20.解：（1）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则121214yyxx，12121yyxx，2211221xyab，2222221xyab，[来源:学|科|网Z|X|X|K]由此可得212122121214yyyybaxxxx，224ab，又由题意知，C的右焦点是(3,0)，故223ab，因此24a，21b，所以椭圆C的方程是2214xy；…………（6分）（2）设,AB分别为直线l与椭圆和圆的切点，00(,)Axy，直线l的方程为：ykxm，代入2214xy得222(14)8440kxkmxm，判别式0，得2214mk①，024414kmkxkm，220041kmykxmmm直线l与222xyr相切，所以2||1mrk，即222(1)mrk，再由①得22214rkr，22234rmr，222200||ABxyr222161krm222221161434rrrrr2245()rr，因为44242222rrrr，当2(1,2)r时取等号，所以2245()1rr，因此当2(1,2)r时，||AB的最大值是1．…………（12分）21．（1）证明略2*()nannN（2）201522.（1）22132xy（2）(0,1),(0,1)