哈尔滨六中2016届高三数学(理)期中试题及答案

哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．若复数z满足)1(21izi，则z的共轭复数的虚部是（）.Ai21.Bi21.C21.D212．已知全集为R，集合021|xxxM，1)2(ln|1xxN，则集合)(NCMR（）.A1,1.B1,1.C2,1.D2,13．若幂函数222)33(mmxmmy的图象不过原点，则m的取值是（）.A21m.B21mm或.C2m.D1m4．设Ryx,，则22yx且是422yx的（）.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充要条件.D既不充分又不必要条件5．已知向量)2,1(a，)1,3(21ba，)3,(xc，若cba//2，则x（）.A2.B4.C3.D16．已知数列na满足)(loglog1*133Nnaann，9642aaa，则)(log97531aaa（）.A51.B51.C5.D57．已知),(yxP为区域axxy0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，yxz2的最大值是（）.A6.B0.C2.D228．设2,0，2,0，cossin1tan，则（）.A23.B22.C23.D229．数列na满足11a，对任意的*Nn都有naaann11，则201621111aaa().A20152016.B40322017.C40342017.D2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（）.A25329.B2329.C2529.D251111．在直三棱柱111CBAABC中，若ACBC，3A，4AC，41AA，M为1AA的中点，P为BM的中点，Q在线段1CA上，QCQA31.则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为（）.A3913.B21313.C23913.D131312．对于任意实数ba,，定义,min,,aababbba，定义在R上的偶函数)(xf满足)()4(xfxf，且当20x时，xxfx2,12min)(，若方程0)(mxxf恰有两个根，则m的取值范围是（）.A2ln,3131,2ln1,1.B1,3131,1.C2ln,2121,2ln1,1.D21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．320|1|_______xdx14．在ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，若22241cba，则cBacos_______________15．已知Ryx,，满足64222yxyx，则224yxz的取值范围________16．已知三棱柱111CBAABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB，60,1BACAC，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）PMACB极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为)sin(cos2.（1）求C的直角坐标方程；（2）直线tytxl23121:（t为参数）与曲线C交于BA,两点，与y轴交于E，求EBEA．18.（本小题满分12分）在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC．（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac．19.（本小题满分12分）已知数列}{na的前n项和nS满足：)1(2nnaS，数列}{nb满足：对任意Nn有22)1(12211nnnnbababa（1）求数列}{na与数列}{nb的通项公式；（2）记nnnabc，数列}{nc的前n项和为nT，证明：当6n时，12nTn20.（本小题满分12分）如图，PCBM是直角梯形，90PCB，//PMBC，1,2PMBC，又1,AC120ACB，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求三棱锥PMAC的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}na的前五项和520S，且137,,aaa成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设nT为数列11{}nnaa的前n项和，若存在*nN，使得10nnTa成立．求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln2fxaxaxx．(Ⅰ)当2a时，求函数()fx的极值；(Ⅱ)当0a时，讨论)(xf的单调性；(Ⅲ)若对任意的12(3,2),,1,3axx恒有12(ln3)2ln3()()mafxfx成立，求实数m的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5CDBAD，6-10CABBA，11-12CA填空：8],12,4[,85,322解答题：17（1）由2cossin得22cossin，得直角坐标方程为2222xyxy，即22112xy；（2）将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得210tt，点E对应的参数0t，设点A，B对应的参数分别为12,tt，则121tt，121tt，所以212121212||||||||||45EAEBtttttttt．18.（1）因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC．所以CABC,或()CABC（不成立）．即2CAB,得3C，所以．23BA．又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA,（舍去）得5,412AB．（2）162sin3328ABCSacBac,又sinsinacAC,即2322ac，得22,23.ac19.（1）当1n时，1112(1)Saa，所以12a，当1n时，112()nnnnnaSSaa，,21nnaa又122224aa成立所以数列na是以12a，公比2q的等比数列，通项公式为2()nnanN.由题意有11ab2(11)222，得11b.当2n时，nnab1122()nnababab112211()nnababab1(1)22nn(2)22nn2nn，验证首项满足，于是得nbn故数列nb的通项公式为nbn()nN．（2）证明：nT=1212nnbbbaaa=212222nn，所以12nT=23112222nn，错位相减得12nT=231111122222nnn，所以2nT22nn，即2nT22nn，下证：当6n时，(2)12nnn，令()fn=(2)2nnn，(1)()fnfn=1(1)(3)(2)22nnnnnn=2132nn当2n时，(1)()0fnfn，即当2n时，()fn单调减，又(6)1f，所以当6n时，()1fn，即(2)12nnn，即当6n时，21nnT20.(1)ABCPCBBCABABPCBCPC面,PACPC面ABCABC面面(2)12323112131PMCAMACPVV21.（1）设{}na的公差为d，由已知得12111545202(2)(6)adadaad即121242addad，110,2dda，故*1()nannN（2）11111(1)(2)12nnaannnn111111233412nTnn11222(2)nnn∵存在*nN，使得10nnTa成立∴存在*nN，使得(2)02(2)nnn成立,即22(2)nn有解max2{}2(2)nn而21142(2)162(4)nnnn，2n时取等号116．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(xf的定义域为(0,)．21()4fxx，令21()4=0fxx，得112x；212x（舍去）．2分当x变化时，,()fxfx的取值情况如下：x1(0,)2121(,)2fx—0()fx减极小值增所以，函数()fx的极小值为1()42f，无极大值．4分(Ⅱ)2221(21)(1)()2axaxfxaxxx，令()0fx，得112x，21xa，5分当2a时，()0fx，函数)(xf的在定义域(0,)单调递增；6分当20a时，在区间1(0,)2，1(,)a，上()0fx，)(xf单调递减，在区间11(,)2a，上()0fx，)(xf单调递增；7分当2a时，在区间1(0,)a，1(,)2，上()0fx，)(xf单调递减，在区间11(,)2a，上()0fx，)(xf单调递增．8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a时，函数)(xf在区间1.3单调递减；所以，当1.3x时，max()(1)12fxfa，min1()(3)(2)ln363fxfaa问题等价于：对任意的(3,2)a，恒有1(ln3)2ln312(2)ln363maaaa成立，1即14114,4aamamaa，432,432amaam，所以313m12分