北师大版高三数学(理科)试题及答案

高三数学试题（理科）斗鸡中学高三数学理科组2010-9-28一、选择题（本大题共12个小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1|24xPx，22|4,,QyxyxRyR，则PQ（）A.1,2B.3,1,0,2C.D.Q2.已知532sin，432tan，则所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知12zi，213zi，则复数215ziz的虚部为（）A.iB.iC.1D.14.函数axxy1的图象关于点(2,0)对称，则a等于（）A.3B.5C.7D.95.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积为（）A.83B.63C.243D.216.如图，程序框图所进行的求和运算是（）A.111124620B.11113519C.11112418D.2310111122227.设,xy满足约束条件0x，yx，4312xy，则231xyx取值范围是（）A.[1,5]B.[2,6]C.[3,10]D.[3,11]8.如图在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,ABmAMACnAN，开始S=0,n=2n2121是否S=S+1nn=n+2输出S结束OBCAMN则mn的最大值为A12B1C2D49.已知集合1,2,3,4A，5,6,7B，8,9C.现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（）个集合A.24B.36C.26D.2710.已知12,FF分别为椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点，过1F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为A、(0,21)B、(0,31)C、(21,1)D、(31,1)11.如图所示，若向圆222yx内随机投一点（该点落在圆222yx内任何一点是等可能的），则所投的点落在圆与y轴及曲线)0(2xxy围成的阴影图形S内部的概率是A．6141B．121C．81D．1218112.幂指函数()[()]gxyfx在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny)(ln)(xfxg，两边同时求导得///()()ln()()()yfxgxfxgxyfx，于是/y/()/()[()][()ln()()]()gxfxfxgxfxgxfx，运用此方法可以探求得知1xyx的一个单调递增区间为A.(0,2)B.(2,3)C.(e,4)D.(3,8)二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分）13.已知)3,1(a，)1,1(b，bac，a和c的夹角是锐角，则实数的取值范围是.14.248sin40cos40cos401sin50=BAF1F2xy15.若316*272732(),()nnnCCnNxx的展开式中的常数项是（用数字作答）.16.在Rt△ABC中，090C，,ACbBCa，则Rt△ABC的外接圆半径为222abr，将此结论类比到空间，类似的结论。三、解答题（本大题共6小题，19，20，21，22，23题每题12分，24题14分共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量：2,,(2sin,cos)(cos,23)0axxbx向量其中，设函数()fxab，若)(xf图象的相邻两对称轴间的距离为.（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）若对任意实数]3,6[x，恒有2|)(|mxf成立，求实数m的取值范围.18．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.19（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD.底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ABBC，3ABADPB.点E在棱PA上，且2PEEA.PABCDE(1)求异面直线PA与CD所成的角；(2)求证：//PC平面EBD；(3)求二面角ABED的大小（用反三角函数表示）.20.已知点,AB的坐标分别是(0,1)，(0,1)，直线,AMBM相交于点M，且它们的斜率之积为12．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点2,0D的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求ODE与ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）.21.已知函数)(:,61)(),ln()(3xfyxylbxxgaxxf与直线相切，（1）求a的值（2）若方程),0()()(在xgxf上有且仅有两个解21,xx求b的取值范围，并比较21211xxxx与的大小。（3）设*2Nnn时，，求证：1!ln!33ln!22lnnn请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所组的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选证在半径为1的圆O中，两弦AB和CD交于点E，且//EFCB，EFAD交的延长于点F。若2OF，求EF的长。23．（本小题10分）选修4－4：极坐标与参数方程平面直角坐标系中，直线l经过点)1,1(P,倾斜角6，将极点放在平面直角坐标系的坐标原点，极轴与x轴正半轴重合，曲线C的极坐标方程是4cos.（Ⅰ）写出直线l的参数方程与曲线C的普通方程。（Ⅱ）设l与曲线C相交于BA、两点，求点P到BA、两点的距离之积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲。关于x的二次方程26|2||21|0xxaa有实根，求a的取值范围理科数学答案一、选择题题号123456789101112答案DACACADBCCDA二、填空题13．25且014.215.-8016.三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直的三棱锥SABC，,,SAaSBbSCc，则此三棱锥的外接球半径为2222abcR三、解答题（如与答案解法不同，请参考答案酌情给分）17．解)2cos1(32sin)32,(cos)cos,sin2()(2xxxxxbaxf3)32sin(2x…………………………………………3分∵相邻两对称轴的距离为21,222,3)3sin(2)(xxf…………………………………………6分（II）]32,2[3],3,6[xx……………………………………7分32)(32xf，………………………………………………8分又mxfmmxf2)(2,2|)(|……………………………10分若对任意]3,6[x，恒有322322,2|)(|mmmxf则有成立解得3223m…………………………………………………12分18．解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝12.…………………………….2（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28PABCPAPBPC………….4（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3…………………………………..5(0)()()()PPABCPABCPABC＝()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC＝3231113()()().2228…………………………..7(1)()()()PPABCPABCPABC=()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC=3331113()()().22281(2)()()()().8PPABCPAPBPC1(3)()()()().8PPABCPAPBPC……………..10所以，的分布列是0123P38381818的期望331101231.8888E…………………….1219解：(1)∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD∴CD⊥BD在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6取BC的中点F，连结PF，则AF∥CD∴∠PAF为异面直线PA和CD所成的角或其补角在ΔPAF中，AF=PA=PF=32∴∠PAF=60°…………4分∴异面直线PA和CD所成的角为60°(2)连结AC交BD于G，连结EG∴12AGADGCBC，又12AEEP∴AGAEGCEP∴PC∥EG又EG平面EBD，PC平面EBD∴PC∥平面EBD…………8分(3)∵PB⊥平面ABCD∴AD⊥PB又∵AD⊥AB∴AD⊥平面EAB作AH⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在ΔABE中，BE=5，sin45355ABAEAHBE∴tan5ADAHDAH故二面角——ABED的大小为arctan5…………12分或解：(1)建立如图所示的直角坐标系B—xyz.设BC=a，则A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，C(a,0,0),∴(3,3,0)CDa，(3,3,3)PD,∵CDPD∴0CDPD即3(3)90a∴6a∵(3,3,0),(0,3,3)CDPA∴91cos,2||||3232CDPAPACDCDPA∴异面直线PA和CD所成的角为60°（2）同解法一1111212(3)(,,1),(0,2,1),(3,3,0)0,210,330,0,12,1.211,(,,1)22(1,0,0)cos,BEDnxyBEBDnBEyxynBDxynABEnnn设平面的法向量为因为由得所以于是又因为平面的法向量为所以16666——arccos6ABED故二面角的大小为20.解：（1）设点M的坐标为(,)xy，∵12AMBMkk，∴1112yyxx．整理，得2212xy（0x），这就是动点M的轨迹方程．（2）方法1：如图，由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为2ykx（12k）……①将①代入1222yx，得0)28(8)12(2222kxkxk，由0，解得2102k．设11,Exy，22,Fxy，则.1228,12822212221kkxxkkxx……②令OBEOBFSS，则||||BEBF，即BEBF，即1222xx，且01.由②得，12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21xxkxxxxxxk（即22222412,2122.21xkxk22222141,(1)8(1)2kk即．2102k且214k24110(1)22且2411(1)24．解得322322且13分01，1223且13．∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是11322,,133．21.（1）设切点),(00yx，则00xy，axxf00'1)(，11)