2016丰台区高三数学(理)期末试题及答案

丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习2016.01高三数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.复数(1i)(1i)a是实数，则实数a等于（A）2（B）1（C）0（D）-12.“20x”是“0x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3.已知数列{}na中，1111,1nnaaa，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（A）2014n（B）2016n（C）2015n（D）2017n4.若点P为曲线1cos1sinxy（为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（A）21（B）2+1（C）2（D）25.函数()=sin2+3cos2fxxx在区间[0,]上的零点之和是（A）23（B）712（C）76（D）436.若212xadx，21bxdx，221logcxdx，则,,abc的大小关系是（A）cba（B）bca（C）cab（D）abc7.若F（c,0）为椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点，椭圆C与直线1xyab交于A,B两点，线段AB的中点在直线xc上，则椭圆的离心率为（A）32（B）12（C）22（D）33？结束输出A否是A=1A+1n=n+1n=1,A=1开始8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.其中真命题的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在71)x（2的展开式中，2x的系数等于_____.（用数字作答）10.若,xy的满足30,30,1.xyxyx则2zxy的最小值为.11.设等差数列{}na的前n项和为nS，若7=42S,则237aaa=.12.在ABC中，3,1BCAC,点,MN是线段AB上的动点，则CMCN的最大值为_______.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.14.设函数(1),()ln()(1).xaxfxxaxe其中1a.①当0a时，若()0fx，则x__________；②若()fx在），（-上是单调递增函数，则a的取值范围________.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）如图，在ABC中，=12AB，=36AC，=56BC，点D在边BC上，且60OADC.（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长.222俯视图侧视图主视图16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=5.（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者.若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P.试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P和2P的值，写出1P，2P，3P的大小关系（只写结果，不用说明理由）.18.（本小题13分）已知函数321()(0)3fxaxxa.（Ⅰ）求函数()yfx的极值；（Ⅱ）若存在实数0(1,0)x，且012x，使得01()()2fxf，求实数a的取值范围.19.（本小题13分）已知定点(1,0)M和直线1x上的动点(1,)Nt，线段MN的垂直平分线交直线yt于点R，设点R的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线(0)ykxbk交x轴于点C，交曲线E于不同的两点,AB，点B关于x轴的对称点为点P.点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线.20.（本小题13分）已知数列{}na的各项均为正数，满足11a，1kkiaaa.,1,2,ikk（3,,1)n（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)kkaakn（；（Ⅱ）若{}na是等比数列，求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）设数列{}na的前n项和为nS，求证：12)1(21nnSnn.丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DBCACABD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．-8410．-211.1812.313．16314．1,1,e三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题共13分)解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos2ACBCABCACBC222(36)(56)121323656………6分（Ⅱ）因为0C，所以sin0C22122sin1cos1()33CC根据正弦定理得：sinsinADACCADCsinsinACCADADC8…………………………13分16．(本小题共14分)解：（Ⅰ）取AP的中点M，连接,MFMB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以1,2MFADMFAD，又因为1,2BCADBCAD，所以四边形BCFM是平行四变形,FCBMFC面ABP，BM面ABP所以FC面ABP…………………………5分（Ⅱ）连接CE，因为在ABP中，ABAPBP，点E是边AB在的中点，所以PEAB且22213PE，在RtBEC中，1BEEC，EBBC，所以2EC在PEC中，3PE，2EC，5PC，所以PEEC又因为,ABECEAB面ABCD，EC面ABCD所以PE面ABCD…………………………9分（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)B，(0,0,3)P，(1,0,0)A因为：BCPE，ABBC所以BC面ABP面ABP的法向量为(0,1,0)BC设面ABP的法向量为2000(,,)nxyz(1,0,3)AP，(2,1,0)AC200002030200APnxzxyACn23(1,2,)3n由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为12123cos||||||2nnnn二面角BPAC余弦值为：12123cos||||||2nnnn………………………14分17．(本小题共14分)解：（Ⅰ）1337141012CCPC所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………5分（Ⅱ）1132437()()0.41161010PC所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12…………………………10分（Ⅲ）132PPP…………………………14分xyzNFEADBCP18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2fxaxx，令/()0fx得20x，32xa.x2(,)a2a2(,0)a0(0,)/()fx+0_0+()fx极大值极小值∴函数()yfx的极大值为32221224()()()33faaaaa；极小值为(0)0f.…………………………8分(Ⅱ)若存在011(1,)(,0)22x，使得01()()2fxf，则由（Ⅰ）可知，需要21221,1(1)()2aaff（如图1）或3122aa（如图2）.（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a.…………………………13分19．(本小题共13分)（Ⅰ）有题意可知：RNRM，即点R到直线1x和点M的距离相等.根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：22ypx，12p，2p所以R的轨迹方程为：24yx.…………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)bCk，则(,0)bQk.联立24ykxbyx,消去y得222(24)0kxbkxb，222(24)416(1)0bkbkbk.设112212(,),(,)()AxyBxyxx，则22(,)Pxy12242bkxxk，1242412bkbkxk，2242412bkbkxk.因为1212122()28112APyykxxbkkxxbkbkk，11110()2(11)22[(1)1]12AQykkxbbkkkbkxbbkbkbkxkk所以APAQkk,,,APQ三点共线.…………………………13分20.（本小题共13分）（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)kkiaaaikkn0（，所以数列{}na是递增数列，即231naaa.又因为11,1,2,3,,1)kkiaaaikkn（，所以111,2,3,,1)kkaakn（.…………………………3分（Ⅱ）解：因为211aaa，所以212aa；因为{}na是等比数列，所以数列{}na的公比为2.因为1,1,2,3,,1)kkiaaaikkn（，所以当=ik时有1=2kkaa.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12nna.…………………………8分（Ⅲ）证明：因为11=1a，22=2a，2332a，3442a…12nnnayxOQPCBA由上面n个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2nnnaaaa1，化简得1231))(21)2nnnnaaaa（（所以12)1(21nnSnn.………13分