2016朝阳区高三文科数学期末试题及答案

开始m=1,i=1m=m(2-i)+1m=m(2-i)+1(2-i)+1i=i+1m=0?结束输出i是否北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）2016.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{1,0,1},{11}ABxx，则ABI=A．{0,1}B．{1,0}C．{0}D．{1,0,1}2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A．()fxxB．1()fxxC．()exfxD．()sinfxx3.执行如图所示的程序框图，则输出的i值为A．3B．4C．5D．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有8090100110120130车速（km/h）频率组距0.0050.0100.0200.0300.035A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆4第4题图5.已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且mn，,则下列说法正确的是A．若//，则//mnB．若m，则C．若//m，则//D．若，则mn6.设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24yxB.24yxC.28yxD.28yx7.已知BA,为圆9)()(:22nymxC(,mnR)上两个不同的点（C为圆心），且满足13||CBCA，则ABA.23B.232C.2D.48.设函数()fx的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意xD，当xmD时，都有()()fxmfx，则称()fx为D上的“m型增函数”.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxxaa（aR），若()fx为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是A.0aB.20aC.10aD.5a第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.计算:i(1i)(i为虚数单位).10.双曲线2213yx的渐近线方程为.11.在ABC中，若1BC，2AC，1cos4C，则AB,sinA.12．已知正数x，y满足约束条件05302yxyx，则21()2xyz的最小值为.13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是，侧面积为.第13题图14.在ABC中，ABAC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则ABC面积的最大值为（用l表示）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知数列{}na是等差数列，数列{}nb是各项均为正数的等比数列，且113ab，2214ab，3453aaab．（Ⅰ）求数列{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）设*,nnncabnN，求数列{}nc的前n项和．16.（本小题满分13分）已知函数2()cos3sincosfxxxxa的图象过点(,1)6.（Ⅰ）求实数a的值及函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在[0,]2上的最小值.343正视图侧视图俯视图17.（本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PAAD，且平面PAD平面ABCD，试证明AF平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?（直接给出结论，不需要说明理由）19.（本小题满分13分）已知函数()(21)ln2kfxkxxx，kR.（Ⅰ）当1k时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当ek时，试判断函数()fx是否存在零点,并说明理由；（Ⅲ）求函数()fx的单调区间.20.（本小题满分14分）已知圆:O221xy的切线l与椭圆:C2234xy相交于A，B两点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证:OAOB；（Ⅲ）求OAB面积的最大值.FBDCPEA北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（文史类）2016.1一、选择题：（满分40分）题号12345678答案ADBDBCAD二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案1i3yx2,15811612,27223l（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，且0q.依题意有，1121114,3(3).adbqadbq由113ab,又0q，解得3,2.qd所以1(1)32(1)21,21nnaandnnan即,nN.111333nnnnbbq,nN.………………………………………7分（Ⅱ）因为213,nnnncabn所以前n项和1212()()nnnSaaabbb12(3521)(333)nn(321)3(13)213nnn3(2)(31).2nnn所以前n项和*3(2)(31),2nnSnnnN．………………………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()cos3sincosfxxxxa1cos23sin222xxa1sin(2)62xa.因为函数()fx的图象过点(,1)6，所以1()sin(2)16662fa.解得12a.函数()fx的最小正周期为.…………………………………………………………7分（Ⅱ）因为02x，所以2x.则sin(2)x.所以当2x，即x时，函数()fx在[0,]2上的最小值为12.……………13分17.（本小题满分13分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个．……………4分（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，所以，事件M发生的概率31()155PM．……………………………………8分（Ⅱ）事件N包含的基本事件有{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，所以，事件N发生的概率62()155PN．……………………………………13分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为,,,ABEF四点共面，且平面ABEF平面PCDEF，所以AB∥EF．……………………5分（Ⅱ）在正方形ABCD中，CDAD．又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD．又AF平面PAD所以CDAF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PAAD，所以AFPD．又因为PDCDD，所以AF平面PCD．…………………………………11分（Ⅲ）不存在．…………………………………………………………14分19.（本小题满分13分）解：函数()fx的定义域：),0(x.2222)12)(()12(2212)(xxkxxkxkxxkxkxf.（Ⅰ）当1k时，xxxxf21ln)(.2)12)(1()(xxxxf.有3211ln)1(f，即切点（1,3），21)12)(11()1(2fk.所以曲线()yfx在点(1,(1))f处切线方程是)1(23xy，即12xy.………………………………………………………………………4分（Ⅱ）若ek，e()(2e1)ln2fxxxx.FBDCPEA2(e)(21)()xxfxx.令0)(xf，得1ex（舍），212x.则min11e1()()(2e1)ln22(1ln2)eln21012222fxf.所以函数()fx不存在零点.………………………………………………………8分（Ⅲ）2)12)(()(xxkxxf.当0k，即0k时，当210k，即021k时，x),0(kk)21,(k12),21()(xf＋0－0＋)(xf↗极大值↘极小值↗当21k，即21k时，x)21,0(12),21()(xf－0＋)(xf↘极小值↗x)21,0(12),21()(xf－0＋)(xf↘极小值↗x)21,0(),21()(xf＋＋)(xf↗↗当21k，即21k时，综上，当0k时，)(xf的单调增区间是),21(;减区间是)21,0(.当021k时，)(xf的单调增区间是),0(k,),21(;减区间是)21,(k.当21k时，)(xf的单调增区间是),0(;当21k时，)(xf的单调增区间是)21,0(，),(k;减区间是),21(k.……………………………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a，243b，所以22283cab．所以63cea．所以椭圆C的离心率为63．…………………………3分（Ⅱ）若切线l的斜率不存在，则:1lx．在223144xy中令1x得1y．不妨设(1,1),(1,1)AB，则110OAOB．所以OAOB．同理，当:1lx时，也有OAOB．若切线l的斜率存在，设:lykxm，依题意211mk，即221km．由2234ykxmxy，得222(31)6340kxkmxm．显然0．设11(,)Axy，22(,)Bxy,则122631kmxxk，21223431mxxk．所以2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxm.x)21,0(12),21(kk),(k)(xf＋0－0＋)(xf↗极大值↘极小值↗所以1212OAOBxxyy221212(1)()kxxkmxxm22222346(1)3131mkmkkmmkk2222222(1)(34)6(31)31kmkmkmk22244431mkk2224(1)4403