2014--2015年丰台区高三数学文科期末试题及答案

甲乙667688828367丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数2i1i对应的点的坐标是(A)(-1,1)(B)(-1,-1)(C)(1,-1)(D)(1,1)2．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于(A)8(B)15(C)24(D)303．命题p：x0，e1x，则p是(A)00x，0e1x(B)00x，0e1x(C)0x，e1x(D)0x，e1x4．已知32log2a，14log2b，132c，则a，b，c的大小关系是(A)abc(B)cba(C)cab(D)acb5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x，2x分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s，2s分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有(A)12xx，12ss(B)12xx，12ss(C)12xx，12ss(D)12xx，12ss6．已知函数sinyabx（b0且b≠1）的图象如图所示，那么函数log()byxa的图象可能是xy4-13211O(A)xy-1-1-2211O(B)xy4-13211O(C)xy-1-1-2211O(D)xyO2ππ12开始结束输出BA=1，B=1B=B+1A=A+3B-1是A15否7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(A)(B)(C)(D)8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是(A){1，2}(B){1，2，3}(C){0，1，2}(D){0，1，2，3}第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合2{20}Axxx，{1,2,3,4}B，则AB．10．已知向量ab，且(,1)ax，(1,2)b，那么实数x=；ab．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．12．如果变量x，y满足条件240,280,0,xyxyx且3zxy，那么z的取值范围是___．13．已知圆C：22240xyxy，那么圆心坐标是；如果圆C的弦AB的中点坐标是(-2，3)，那么弦AB所在的直线方程是___．14．设函数()fx与()gx是定义在同一区间[,]ab上的两个函数，如果函数()()yfxgx在区间[,]ab上有*()kkN个不同的零点，那么称函数()fx和()gx在区间[,]ab上为“k阶关联函数”．现有如下三组函数：①()fxx，()sin2gxx；②()2xfx，()lngxx；③()|1|fxx，()gxx．其中在区间[0,4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有．．满足条件的函数组的序号）侧视图俯视图二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()2sincoscos(2)cos(2)66fxxxxx，Rx．（Ⅰ）求()12f的值；（Ⅱ）求函数)(xf在区间[,]2上的最大值和最小值，及相应的x的值．16.（本小题共13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内(只需写出结论)．（注：将频率视为相应的概率）a0.020.0250.030.015060708090100考试成绩（分）频率组距O17.（本小题共14分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．CABDSQEP18.（本小题共13分）已知函数1()1exfxx．（Ⅰ）求函数()fx的极小值；（Ⅱ）过点(0,)Bt能否存在曲线()yfx的切线，请说明理由．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221(0)xyabab的一个顶点为(2,0)A，离心率为63．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点A，过O作l的平行线交椭圆C于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线l相切，求l的方程．20.（本小题共13分）已知数列{}na的前n项和nS满足1nnnSa，(1，*)nN．（Ⅰ）如果0，求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）如果2，求证：数列1{}3na为等比数列，并求nS；（Ⅲ）如果数列{}na为递增数列，求的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015．01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案ABBDBCAC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．{3，4}10．2；1011．412．[2,9]13．(1,2)；50xy14．①③注：第10，13题第一个空2分；第二个空3分。三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.解：（Ⅰ）)62cos()62cos(cossin2)(xxxxxf)6sin2sin6cos2(cos)6sin2sin6cos2(cos2sinxxxxxxx2cos32sin)32sin(2x．所以22sin2)12(f．…………………7分（另解）)6122cos()6122cos(12cos12sin2)12(f3cos2sin6sin2．…………………2分（Ⅱ）因为2x，所以472333x．所以当7233x，即x时，max3y；当3232x，即712x时，min2y．…………………13分所以当x时，max3y；当712x时，min2y．16.解：（Ⅰ）0.10.030.0250.020.010.015a估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1-0.15=0.85…………………3分（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN．PEQSDBACFPEQSDBACF设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，7()=10PD．…………………11分答：学生代表M，N至少有一人被选中的概率为710．（Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内．…………………13分17.（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．因为P，F分别是棱SC，SD的中点，所以FP∥CD，且FP=12CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以AQ∥CD，且AQ=12CD．所以FP//AQ且FP=AQ．所以AQPF为平行四边形．所以PQ//AF．又因为PQ平面SAD，AF平面SAD，所以PQ//平面SAD．…………………5分（Ⅱ）证明：连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以SE⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCD=AD，SE平面SAD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以BD⊥AC，EQ∥BD．所以EQ⊥AC，因为SEEQ=E，所以AC⊥平面SEQ．…………………11分（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，所以ABCS=1sin2ABBCABC=3．因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=3．由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，所以三棱锥S-ABC的体积V=113ABCSSE．…………………14分18.解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为1()1xfxxe，所以1()xxefxe．令()0fx，则0x．x(,0)0(0,)()fx-0+()fx↘极小值↗所以01()=(0)010fxfe极小值．…………………6分（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为00(,)xy，则切线方程为000'()()yyfxxx即00001(1)(1)()xxyxexxe将(0,)Bt代入得0011xxte．方程0011xxte有解，等价于过点(0,)Bt作曲线()fx的切线存在．令1()1xxMxe，所以()xxMxe．当()0xxMxe时，00x．所以当(,0)x时，()0Mx，函数()Mx在(,0)x上单调递增；当(0,)x时，()0Mx，()Mx在(0,)x上单调递减．所以当00x时，max()(0)0MxM，无最小值．当0t时，方程0011xxte有解；当0t时，方程0011xxte无解．综上所述，当0t时存在切线；当0t时不存在切线．………………13分19.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，因为2a，63ca，所以263c，22243bac．所以椭圆的方程为223144xy．…………………4分（Ⅱ）依题意，直线l的斜率显然存在且不为0，设l的斜率为k，则可设直线l的方程为(2)ykx，则原点O到直线l的距离为2|2|1kdk．设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则2234ykxxy消y得22(31)4kx．可得2222(,)3131kPkk，2222(,)3131kQkk．因为以PQ为直径的圆与直线l相切，所以1||2PQd，即||OPd．所以22222222|2|()()()31311kkkkk，解得1k．所以直线l的方程为20xy或20xy．…………………14分20.解：（Ⅰ）0时，nSn，当1n时，111aS，当2n时，11nnnaSS，所以1na．…………………3分（Ⅱ）证明：当2时，23nnnSa，11123nnnSa，相减得1123nnaa．所以1112()33nnaa，又因为113a，112033a，所以数列1{}3na为等比数列，所以1233nna，1222333nnnnnSa．…………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然0当1n时，则1111Sa，得1211a．当2n时，1nnnSa，1111nnnSa，相减得12111nnaa，即111()111nnaa．因为1，所以121011a．所以1{}1na为等比数列．所以12111()()111111nnna．