2011朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）2011.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集UR，{|(2)0}Axxx=-，{|ln(1)}Bxyx==-，则U()ABIC是（A）2,1（）（B）[1,2)（C）(2,1]（D）1,2（）2．要得到函数sin24yx（）的图象，只要将函数sin2yx的图象（A）向左平移4单位（B）向右平移4单位（C）向右平移8单位（D）向左平移8单位3．设a，b，g是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若ab^，bg^，则；②若l上两点到的距离相等，则//l；③若la^，//lb，则ab^；④若//ab，lbË，且//la，则//lb.其中正确的命题是（A）①②（B）②③（C）②④(D)③④4．下列函数中，在(1,1)-内有零点且单调递增的是（A）12logyx=（B）21xy=-（C）212yx=-(D)3yx=-5．已知数列na的前n项和为nS，且22nnSa=-,则2a等于（A）4（B）2（C）1（D）-26.若A为不等式组0,0,2xyyx≤≥≤表示的平面区域，则a从-2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为（A）913（B）313（C）72(D)747．在ABC中，M是BC的中点，1AM，点P在AM上且满足2APPM，则()PAPBPC等于（A）49（B）43（C）43(D)498．如图，正方体1111ABCDABCD-中，E，F分别为棱1DD，AB上的点.已知下列判断：①1AC^平面1BEF；②1BEFD在侧面11BCCB上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111ABCD内总存在与平面1BEF平行的直线；④平面1BEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关.其中正确判断的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知3cos()5x，(,2)x，则tanx.10．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，CD交BA的延长线于点E.若3AB，2ED，则BC的长为________.11．曲线cos,1sinxy（为参数）与曲线22cos0rrq-=的直角坐标方程分别为，，两条曲线的交点个数为个.12.已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于.13．已知点1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若2ABF是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.14．已知数列*{}()nanÎN满足：*1log(2)()nnannN，定义使123......kaaaa为整数的数*()kkN叫做企盼数，则区间[1,2011]内所有的企盼数的和为.EDCBAO三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知△ABC中，2sincossincoscossinABCBCB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)AAm，12(,1)5n，求当mn取最小值时，)4tan(A值.16．（本小题满分13分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC==，90ACB?o，侧面PAB为等边三角形，侧棱22PC=．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求证：平面PAB^平面ABC；（Ⅲ）求二面角BAPC的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（Ⅱ）当102a≤时，讨论()fx的单调性.18．（本小题满分13分）已知函数2()1fxaxbx（,ab为实数，0a，xR），()0,()()0.fxxFxfxx（Ⅰ）若(1)0f，且函数()fx的值域为[0,)，求()Fx的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2,2]x时，()()gxfxkx是单调函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设0mn，0mn，0a，且函数()fx为偶函数，判断()()FmFn是否大于0？20070316CABP19．（本小题满分14分）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为12,FF，上顶点为A，过点A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且1222FFFQ+=0uuuuruuur，若过A，Q，2F三点的圆恰好与直线l：033yx相切.过定点(0,2)M的直线1l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线1l的斜率0k，在x轴上是否存在点(,0)Pm，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MGMH，求的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()1axbfxcx（a，b，c为常数，0a）.（Ⅰ）若0c时，数列{}na满足条件：点(,)nna在函数2()1axbfxcx的图象上，求{}na的前n项和nS；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a，424S，,pqN（pq），证明：221()2pqpqSSS；（Ⅲ）若1c时，()fx是奇函数，(1)1f，数列{}nx满足112x，1()nnxfx，求证：2222311212231()()()516nnnnxxxxxxxxxxxx.xOyQA··F2F1北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一．选择题：题号12345678答案BCDBADAB二．填空题：题号91011121314答案4332222(1)1,(1)1xyxy+-=-+=,293(1,12)2026三．解答题：15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sincossincoscossinABCBCB，所以2sincossin()sin()sinABBCAA.……………………3分因为0Ap，所以sin0A¹.所以1cos2B.………………………………………………………5分因为0Bp，所以3B.………………………………………7分（Ⅱ）因为12coscos25AAmn，………………………………………8分所以2212343cos2cos12(cos)5525AAAmn.………………10分所以当3cos5A时，mn取得最小值.此时4sin5A（0Ap），于是4tan3A.……………………………12分所以tan11tan()4tan17AAA.………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，…………1分因为APBP=，所以PDAB^.又ACBC=，所以CDAB^.…………………2分因为PDCDD=I，所以AB^平面PCD.因为PCÌ平面PCD，所以PCAB^.………4分（Ⅱ）由已知90ACB?o，2ACBC==，所以2ADBDCD===，22AB=.CABPED又PABD为正三角形，且PDAB^，所以6PD=.……………………6分因为22PC=，所以222PCCDPD=+.所以90CDP?o.由（Ⅰ）知CDPÐ是二面角PABC--的平面角.所以平面PAB^平面ABC.……………………………………………8分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD^平面PAB.过D作DEPA^于E，连结CE，则CEPA^.所以DECÐ是二面角BAPC--的平面角.…………………………………10分在RtCDED中，易求得62DE=.因为2CD=，所以23tan3CDDECDE?=.…………………………12分所以21cos7DEC?.即二面角BAPC--的余弦值为217.……………………………………13分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP两两垂直.………………………9分以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0,0,0)D，(2,0,0)C，(0,2,0)A-，(0,0,6)P.所以(2,2,0)AC=uuur，(2,0,6)PC=-uuur.………………………10分设平面PAC的法向量为(,,)xyz=n，则0,0.ACPCìï?ïïíï?ïïîuuuruuurnn即220,260.xyxzìï+=ïíï-=ïî令1x=，则1y=-，33z=.所以平面PAC的一个法向量为3(1,1,)3=-n.………………………11分易知平面PAB的一个法向量为(2,0,0)DC=uuur.xCABPDyz所以21cos,7||||DCDCDC×==uuuruuuruuurnnn.……………………………………12分由图可知，二面角BAPC--为锐角.所以二面角BAPC--的余弦值为217.……………………………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a=-时，2()ln1fxxxx=++-，(0,)x??.所以222()xxfxx+-=′，(0,)x??.………（求导、定义域各一分）2分因此(2)1f=′.即曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线斜率为1.…………3分又(2)ln22f=+，……………………………………………………4分所以曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为ln20xy-+=.………5分（Ⅱ）因为11ln)(xaaxxxf，所以211()afxaxx-=-+′221xaxax，(0,)x??.…………7分令2()1gxaxxa=-+-，(0,)x??，①当0a时，()1gxx=-+，(0,)x??，当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；………8分当(1,)x时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递增.……9分②当102a时，由()0fx′即210axxa解得11x=，211xa=-.此时1110a-，所以当(0,1)xÎ时，()0gx，此时()0fx′，函数()fx单调递减；…10分1(1,1)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递增；……11分1(1,)xa时，()0gx，此时'()0fx，函数()fx单调递减.…12分综上所述：当0a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+?上单调递增；当102a时，函数()fx在(0,1)上单调递减，在1(1,1)a-上单调递增；在1(1,)a-+?上单调递减.……………………………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)0f，所以10ab.因为()fx的值域为[0,)，所以20,40.aba………………………2分所以24(1)0bb.解得2b，1a.所以2()(1)fxx.所以22(1)0,()(1)0.xxFxxx……………………………………4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1gxfxkxxxkxxkx=22