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课堂达标·效果检测1.过双曲线M:x2-=1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立得B,同理可得C,又B是AC的中点,故2×=0+,解得b=3.故c==.所以e==.故选D.2.过点A(4,3)作直线l,如果它与双曲线-=1只有一个公共点,则直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.把点A代入双曲线方程可知,点A在双曲线上,所以过点A且与双曲线只有一个公共点的直线有3条,其中一条为切线,另两条分别平行于渐近线.故直线l的条数为3.3.(2014·攀枝花高二检测)过双曲线-=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若=,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知知A(a,0),则该直线方程为y=-(x-a),即x+y=a,又双曲线的渐近线方程为:y=x和y=-x,由得xB=.由得xC=.由=,得xB-xA=(xC-xB),即-a=,得b=2ª.所以c2=a2+b2=5a2,即c=a,所以e==.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为.【解析】由题意A1(-1,0),F2(2,0),设P(x,y)(x≥1),则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),所以·=(x+1)(x-2)+y2=x2-x-2+y2,由双曲线方程得y2=3x2-3,代入上式得·=4x2-x-5=4-,又x≥1,所以当x=1时,·取得最小值,且最小值为-2.答案:-25.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交双曲线于A,B两点,已知双曲线的离心率为,若直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】因为==,所以=,即a=2b.又因为双曲线的焦点在x轴上,所以可以设双曲线的方程为x2-4y2=4b2.①不妨令l1的斜率为,由c=b知,直线AB的方程为y=-2(x-b)②将②代入①并化简,得15x2-32bx+84b2=0.设直线AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2==,于是AB被双曲线截得的线段长为·|x1-x2|===b.由已知,得b=4,解得b=3,a=6,故双曲线的方程为-=1.