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课时提升作业(三)四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是()A.如果xa2+b2,那么x2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x2ab,那么xa2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是()A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法:①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-160,所以q:1m3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1m2,所以实数m的取值范围为1m2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x3,那么x5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m2,则不等式x2-2x+m0的解集为R”.其中真命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m2时,Δ0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若ab,则a+cb+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数(m0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m1.答案:m1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0m1.答案:0m1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q0,得q-p2,所以p+qp-p2=-+≤,所以p+q.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即cba,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即bac,同理由命题q为真可得:acb或bac,又命题p与q均为真,可得bac.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.