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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是()A.p:能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数B.p:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形C.p:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形D.p:∃x0∈R,+x0+2≤0;p:∀x∈R,x2+x+20【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是()A.p:∃x0∈R,+1≠0B.p:∀x∈R,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.3.(2014·广州高二检测)命题“∀x0,都有x2-x≤0”的否定是()A.∃x00,使得-x0≤0B.∃x00,使得-x00C.∀x0,都有x2-x0D.∀x≤0,都有x2-x0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,+10,则p是()A.∃x0∈R,+1≥0B.∀x∈R,x2+1≥0C.∃x0∈R,+1≠0D.∀x∈R,x2+10【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题,p:∀x∈R,x2+1≥0.4.已知命题p:“对∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x·m+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是()A.-2≤m≤2B.m≥2C.m≤-2D.m≤-2或m≥2【解题指南】根据p与p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.【解析】选C.因为p是假命题,所以p是真命题.所以m=-≤-2.5.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+0;命题q:∃x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断正确的是()A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D.q是假命题【解析】选D.因为2x2+2x+=(2x+1)2≥0,所以p是假命题.又因为sinx-cosx=sin,所以∃x0=,使sinx0-cosx0=,故q是真命题,故选D.6.(2013·衡水高二检测)已知p:存在x0∈R,m+1≤0;q:对任意x∈R,x2+mx+10,若p或q为假,则实数m的取值范围为()A.m≤-2B.m≥2C.m≥2或m≤-2D.-2≤m≤2【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而p,q都是真命题.p:对任意x∈R,mx2+10成立,得m≥0;q:存在x0∈R,+mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上所述,m≥2为所求.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为________________________.【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等若两个角不是同位角,则它们不相等【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2014·长春高二检测)设命题p:∀x∈R,x2+ax+20,若p为真,则实数a的取值范围是___________________.【解析】因为p为真,又p:∃x0∈R,+ax0+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.答案:a∈R9.命题“∃x0,y00,+≥2x0y0”的否定为______________________.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:∀x,y0,x2+y22xy.答案:∀x,y0,x2+y22xy三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·日照高二检测)已知p:∀x∈R,2xm(x2+1),q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.【解析】2xm(x2+1)可化为mx2-2x+m0.若p:∀x∈R,2xm(x2+1)为真,则mx2-2x+m0对任意的x∈R恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x0,显然不恒成立;当m≠0时,有m0,Δ=4-4m20,所以m-1.若q:∃x0∈R,+2x0-m-1=0为真,则方程+2x0-m-1=0有实根,所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.又p∧q为真,故p,q均为真命题.所以m-1且m≥-2,所以-2≤m-1.11.写出下列命题的否定,判断其真假并给出证明.命题:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行.【解题指南】先写出否定,再判真假,最后给出证明.【解析】命题的否定:已知a=(1,2),则对任意的b=(x,1),a+2b与2a-b都不平行,是一个假命题.证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a+2b与2a-b平行,所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).即(2x+1,4)=λ(2-x,3).所以⇔2x+1=(2-x).解得x=.这就是说存在b=使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,然后再否定结论即可.2.已知命题p:∀n∈N,2n1000,则p为()A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n1000C.∃n0∈N,≤1000D.∃n0∈N,1000【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故p:∃n0∈N,≤1000.【举一反三】若本题中的命题p换为“∃n0∈N,1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“∃”改为全称量词“∀”,然后否定结论即可,p:∀n∈N,2n≤1000.3.(2014·大连高二检测)命题p:x=2且y=3,则p为()A.x≠2或y≠3B.x≠2且y≠3C.x=2或y≠3D.x≠2或y=3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改为“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定,p为:x≠2或y≠3.4.下列关于命题p:“∃x0∈R,=sinx0”的叙述正确的是()A.p:∃x0∈R,≠sinx0B.p:∀x∈R,=sinxC.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∃x0∈R,=sinx0”的否定是p:∀x∈R,≠sinx.当x=0时,=sinx,所以p是真命题,p是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|3”的否定是.【解析】根据全称命题的否定形式写.答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤36.(2014·兰州高二检测)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是_______.【解析】命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.答案:{a|a≤-2或a=1}【变式训练】已知命题p:∃x0∈R,+2ax0+a=0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】方法一:若命题p:∃x0∈R,+2ax0+a=0是真命题,则Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.因为命题p是假命题,所以a(a-1)0,解得0a1.方法二:依题意,命题p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命题,则Δ=(2a)2-4a0,即a(a-1)0,解得0a1.答案:(0,1)三、解答题(每小题12分,共24分)7.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.【解析】(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m0,使得x2+x-m0=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m00时,即m0-时,一元二次方程没有实数根,所以p是真命题.(2)这一命题的否定形式是q:“对所有实数x,都有x2+x+10”;利用配方法可以证得q是一个真命题.(3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命题s是真命题,所以s是假命题.8.(2014·汕头高二检测)设p:“∃x0∈R,-ax0+1=0”,q:“函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,若“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.【解析】由-ax0+1=0有实根,得Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.因此命题p为真命题的范围是a≥2或a≤-2.由函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a≥0.因此命题q为真命题的范围是a≥0.根据p∨q为假命题知:p,q均是假命题,p为假命题对应的范围是-2a2,q为假命题对应的范围是a0.这样得到二者均为假命题的范围就是⇒-2a0.