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课时提升作业(六)简单的逻辑联结词(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解题指南】先判断出命题p,q的真假,再利用逻辑联结词进行相关判断.【解析】选A.易知命题p为真命题,q为假命题,故p∧q为真命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题.2.(2014·驻马店高二检测)若p∨q是假命题,则()A.p是真命题,q是假命题B.p,q均为假命题C.p,q至少有一个是假命题D.p,q至少有一个是真命题【解析】选B.只有当p,q均为假命题时,p∨q才是假命题,故选B.3.(2014·广州高二检测)已知命题p:a2+b20(a,b∈R);命题q:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),下列结论正确的是()A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“p”为假D.“q”为真【解析】选A.显然p假q真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真,“q”为假,故选A.4.命题p:“若ab,则2a2b”的否命题及命题p的否定为()A.否命题:若a≥b,则2a≥2b,否定:若ab,则2a≥2bB.否命题:若ab,则2a≥2b,否定:若a≥b,则2a≥2bC.否命题:若2a2b,则ab,否定:若2a2b,则a≥b.D.否命题:若ab,则2a2b,否定:若ab,则2a2b.【解析】选A.命题“若ab,则2a2b”的否命题为“若a≥b,则2a≥2b”,命题p的否定为“若ab,则2a≥2b”.5.在下列结论中,正确的结论为()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A.①②B.①③C.②④D.③④【解析】选B.充分理解含逻辑联结词的命题真假的判断方法,对于①,当p∧q为真时,p与q均为真,p∨q为真,但当p∨q为真时,p与q至少有一个为真,但p∧q不一定为真,故是充分不必要条件.对于②,p∧q为假,即p与q中至少有一个为假,则p∨q真假不确定,而当p∨q为真时,即p与q中至少有一个为真,则p∧q真假不确定,故既不是充分条件也不是必要条件.对于③,p∨q为真,则p与q至少有一个为真,但p真假不确定,但当p为假,即p为真时,p∨q一定为真,故是必要不充分条件.对于④p为真,即p为假,则p∧q为假,但当p∧q为假,即p与q至少有一个为假时,p真假不确定,故是充分不必要条件.6.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是()A.a0B.a≥0C.a1D.a≥1【解题指南】先分别求出命题p,q为真的充要条件,再分别求出p,q为假的充要条件,利用分类讨论思想求解.【解析】选B.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4-4a≥0,即a≤1,则p为真时,a1;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”的充要条件为a2-a0,即a0或a1,则“q”为真命题时,0≤a≤1.由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得p,q一真一假:若p真q假,则0≤a≤1;若p假q真,则a1.所以实数a的取值范围是a≥0.【举一反三】若本题变为“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,其余条件不变,则实数a的取值范围是.【解析】由“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,得p真q真,所以实数a的取值范围是a0.答案:a0二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·郑州高二检测)设有两个命题:p:|x|+|x-1|≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,实数m的取值范围是.【解析】若p为真命题,则根据绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题,则7-3m1,所以m2,若p真q假,则m∈.若p假q真,则1m2.综上所述,1m2.答案:1m28.已知全集为R,命题p:0∈N,q:{0}⊆RðQ,则下述判断:①p∧q为真;②p∨q为真;③p为真;④q为假,其中正确的序号为.【解析】由于N表示自然数集,RðQ表示无理数集,于是p:0∈N为真,q:{0}⊆RðQ为假,所以p∧q为假,①错误;p∨q为真,②正确;p为假,③错误;q为真,④错误.答案:②9.(2014·杭州高二检测)p:0,q:x2-4x-50,若p且q为假命题,则x的取值范围是___________.【解析】p:x3;q:-1x5.因为p且q为假命题,所以p,q中至少有一个为假,所以x≥3或x≤-1.答案:(-∞,-1]∪[3,+∞).三、解答题(每小题10分,共20分)10.分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“p”形式,并判断真假:(1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数.(2)p:a2+b20(a∈R,b∈R),q:a2+b2≥0.(3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的.【解析】(1)p∨q,2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;(真)p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数;(假)p:2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)(2)p∨q:a2+b20,或a2+b2≥0;(真)p∧q:a2+b20,且a2+b2≥0;(假)p:a2+b2≥0.(真)(3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的;(真)p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的;(真)p集合中的元素是不确定的.(假).11.(2014·惠州高二检测)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a20,其中a0;命题q:实数x满足x2-5x+6≤0.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【解题指南】先根据题意化简给出的两个命题:p:ax3a,q:2≤x≤3,(1)当a=1时,确定p:1x3,再由p∧q为真,可知p,q均为真,故所求实数x的取值范围就是命题p,q所表示的集合的交集.(2)由条件可知,q是p的充分不必要条件,故命题q所表示的集合是命题p所表示的集合的真子集,然后借用数轴求解即可.【解析】(1)由x2-4ax+3a20得(x-3a)·(x-a)0,又a0,所以ax3a,当a=1时,1x3,即p为真命题时,实数x的取值范围是1x3,由x2-5x+6≤0得2≤x≤3,所以q为真时实数x的取值范围是2≤x≤3.若p∧q为真,则2≤x3,所以实数x的取值范围是[2,3).(2)设A={x|ax3a},B={x|2≤x≤3},由题意可知q是p的充分不必要条件,则BA,所以⇒1a2,所以实数a的取值范围是(1,2).(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.(p)∧(q)D.p∨q【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.【解析】选A.至少有一位学员没有降落在指定范围指的是甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围,故选A.2.(2014·聊城高二检测)设命题p:函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数;命题q:函数y=的图象关于原点对称,则下列判断正确的是()A.p真B.q假C.p∧q真D.p∨q假【解析】选B.命题p为假命题,命题q为真命题,故选B.【变式训练】给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1,则x1,那么在下列四个命题中,真命题是()A.(p)∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.(p)∨(q)【解析】选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=(-1)2-4×(-1)=50.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x0时,不等式1恒成立;当x0时,不等式的解为x1.故不等式1的解为x0或x1.故命题q为假命题.所以只有(p)∨(q)为真,故选D.3.已知命题(p∧q)∧(p∨q)为真命题,则()A.p,q都为真B.p真,q假C.p假,q真D.p,q都为假【解析】选B.因为(p∧q)∧(p∨q)为真命题,所以(p∧q)为真命题,(p∨q)也为真命题,因为(p∧q)为真命题,所以p和q都是真命题,所以p真,q假.此时(p∨q)也为真命题,符合题意.【误区警示】解答本题易出现如下错误现象:(1)不知从何处入手,找不到问题突破口.(2)层次不清,推理混乱.(3)步骤不衔接,前后矛盾.(4)对逻辑联结词理解不准,出现知识性错误.4.(2014·长春高二检测)已知:p:|x-1|≥2,q:x∈Z,若p∧q,q同时为假命题,则满足条件的x的集合为()A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{x|x-1或x∈Z}D.{x|-1x3,x∈Z}【解析】选D.p:x≥3或x≤-1,q:x∈Z,由p∧q,q同时为假命题知,p假q真,所以满足-1x3且x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1x3,x∈Z}.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·广州高二检测)命题p:2∉{1,3},q:2∉{x|x2-4=0},则命题p∧q是命题,命题p∨q是命题.【解析】命题p:2∉{1,3}是真命题.因为{x|x2-4=0}={-2,2},所以命题q:2∉{x|x2-4=0}是假命题,所以命题p∧q是假命题,命题p∨q是真命题.答案:假真6.已知命题p:x=π是y=|sinx|的一条对称轴,q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题:①p∨q;②p∧q;③p;④q.其中真命题的序号是.【解析】因为π是y=|sinx|的最小正周期,所以q为假.又因为p为真,所以p∨q为真,p∧q为假,p为假,q为真.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·九江高二检测)已知命题p:不等式x2+kx+1≥0对于一切x∈R恒成立,命题q:已知方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的实数根,若p且q为假,p或q为真.求实数k的取值范围.【解析】当p为真命题时,Δ=k2-4≤0,所以,-2≤k≤2.当q为真命题时,令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根⇔即所以k-2.要使p且q为假,p或q为真,则p真q假,或者是p假q真.当p真q假时,-2≤k≤2,当p假q真时,k-2.综上:k≤2.8.设命题p:方程2x2+x+a=0的两根x1,x2满足x11x2,命题q:函数y=log2(ax-1)在区间[1,2]内单调递增.(1)若p为真命题,求实数a的取值范围.(2)试问:p∧q是否有可能为真命题?若有可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.【解析】(1)若p为真命题,令f(x)=2x2+x+a,则f(1)0,即3+a0,所以a-3.(2)假设p∧q是真命题,则p,q均为真命题,由(1)知p真时a-3.当q为真命题时,需即a1.显然p,q均为真命题时需此时a不存在,故不存在a的值使p∧q为真命题.