成都市第七中学2015届高三4月第一周周练数学试题及答案

成都七中2015届高三下期第五周数学测试题(答案)第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．A2．A3.B4.C5.D6．D7.A8．D9.C10．D11.8012.213.614.22315.①④三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知在数列na中,111,2nnnaaa且.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列na的前n项和为nS，求2nS.解（1）nnnaa21，①1212nnnaa.②②-①得nnnaa22,又11a,12a.故当n为奇数时,113422)()()(aaaaaaaannnnn122242nn31231n，当n为偶数时，224422)()()(aaaaaaaannnnn1222242nn31231n，故，，3123131231nnna为偶数为奇数nn.（2）由（1）得，nnnaaaaaaS212432123123131231312313123121221nn)2222(312122nn)12(322n.17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC＝7.18.（本小题满分12分)元宵节游园活动中“来者都有奖”摸球规则如下：袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，游园摸奖者在袋中任取3个球，以zyx,,表示取出的3个球的编号，将编号输入如图所示的程序，输出可获得的奖金（单位：元）.（1）写出框图中随机变量的分布列;（2）求奖金的数学期望)(E.解（1）由程序框图可知，表示奖金与与摸出三个球中的最大号码，于是的可能取值为543,,.且101CC)3(3523P，103CC)4(3523P，.53106CC)5(3523P故随机变量的分布列为12，得的可能取值为（2）由31,21,13.的分布列为132131P101103106345P1011031062.26106311032110113)(E.19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABCCBA'''中，底面正三角形边长为2，侧棱长为3，M是''CB的中点，Q是侧棱'BB上的动点，（1）若CQQA'，求BQ的长；（2）求二面角'AQMA的余弦值的最大值.解（1）由题意得，'BB平面'''CBA，所以MABB'，又CBMA''，BBBCB''，所以MA'平面''CBCB，所以CQMA'.若CQQA'，则CQ平面MQA'，则MQCQ.设aBQ，则由勾股定理，222MCMQCQ，即222222311)3(2aa，化简得0232aa，解得1a或2a，即BQ长为1或2.（2）以B为坐标原点，'BB为z轴，BC为x轴建立如图所示空间直角坐标系，则)0,0,2(),3,0,1(),3,3,1('),0,3,1(CMAA，设),0,0(aQ.于是)3,0,1(),0,3,0('aQMMA，),3,1(),3,3,0(aAQAM,（7分）设平面MQA'的一个法向量为)1,,(1yxn，由00'11nQMnMA)1,0,3(1an；设平面AMQ的一个法向量为)1,,(2yxn，由0022nAQnAM)1,3,3(2an；设二面角'AQMA的平面角为，则4)3(1)3(1)3(cos222aaa,令1)3(2at，则222231133costttttt，由30a得101)3(12a，1012t，131303112123110134311013331032222tttt.即二面角'AQMA的余弦值的取值范围是]13130,21[.20.（本小题满分13分）已知函数2()ln(1)21fxxaxx（其中0a）.（1）当1a时，求()fx的最小值；（2）若0,2x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围.解（1）当1a时，2()ln(1)21fxxxx，其定义域为1,，令2212(3)()11(1)(1)xxfxxxx=0得0x，所以()fx在1,0上单调递减，在0,上单调递增，()fx的最小值为(0)0f.（2）由（1）知当1a时，()0fx恒成立，即2ln(1)201xxx恒成立；所以当1a，0,2x时，22()ln(1)2ln(1)2011fxxaxxxxx1a符合要求；（6分）当01a时，22212(21)1()1(1)(1)axaxafxaxxx，对于方程2(21)10axaxa，由于810a，所以该方程有两个不等实根12,xx，不妨设12xx，由1210axxa知120xx.当),0(2xx时，()0fx，故)(xf在20,x上单调递减.若202x，则2()(0)0fxf，不满足题意，若22x，则(2)(0)0ff，也不满足题意，故01a不符合题意，舍去.综上可知，实数a的取值范围为1,21.（本题满分14分）已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，椭圆:0C)0(12222babyax的焦距为2，离心率为22.(1)求椭圆0C的方程；（2）若00,NM是椭圆上两点，满足00,ONOM的斜率之积与椭圆0C的离心率的平方互为相反数，动点1P满足001ONbOMaOP，（理）求动点1P的轨迹形成的曲线1C的方程；(3)若11,NM是1C上两点，满足11,ONOM的斜率之积与椭圆0C的离心率的平方互为相反数，动点2P满足112ONbOMaOP，写出动点2P的轨迹方程，以此类推写出动点nP的轨迹形成的曲线nC的方程(不要求证明)；直线1:kxyl与nC交于nnBA,，对给定的k，若nnOBA为钝角，求n的取值范围.解（1）由题意得，1c且11,2222bcaac，所以椭圆0C的方程为1222yx.（2）设),(),,(),,(2211yxNyxMyxP，则ONOMOP2),()2,2(2121yxyyxx，于是21212,2yyyxxx，将两式平方得：2122212222xxxxx，①,2222122212yyyyy②由椭圆的方程知：22,2222222121yxyx，于是①+②×2得：)2(22)2()2(2221212222212122yyxxyxyxyx)2(2262212122yyxxyx，又由题意，022121212121yyxxxxyy，于是（理）动点1P的轨迹方程是6222yx，即13622yx.（3）由第（2）问的推导原理可知，动点2P的轨迹2C方程为191822yx，动点nP的轨迹nC的方程为133222nnyx，即nyx3222，联立直线1kxy与nC的方程nyx3222得03224)21(22nkxxk，于是1)()1()1)(1(2121221212121xxkxxkkxkxxxyyxxOBOAnn0121421322)1(2222kkkkn，化简得：)1(213)1(233021)31)(1(221222kkkknnn，取对数得：)1(log11)1(21log)1(21log1232323kknkn.