搜索
2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则（∁RA）∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A．B．C．2D．﹣23．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2C．D．4．命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx05．设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜aB．x0＞aC．x0＜cD．x0＞c6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1B．2C．4D．88．记Sn是各项均为正数的等差数列{an}的前n项和，若a1≥1，则（）A．S2mS2n≥Sm+n2，lnS2mlnS2n≤ln2Sm+nB．S2mS2n≤Sm+n2，lnS2mlnS2n≤ln2Sm+nC．S2mS2n≥Sm+n2，lnS2mlnS2n≥ln2Sm+nD．S2mS2n≤Sm+n2，lnS2mlnS2n≥ln2Sm+n二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=．（其中e为自然对数的底数）10．设函数f（x）=﹣ln（﹣x+1）；g（x）=，则g（﹣2）=；函数y=g（x）+1的零点是．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于．12．设直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8=0（m∈R），则直线l1恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．14．设x＞0，y＞0，且（x﹣）2=，则当x+取最小值时，x2+=．15．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，（1）求C；（2）若，求a，b，c．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．（1）求证：AB⊥BC；（2）设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．18．设数列{an}满足a1=，an+1=an2+an+1（n∈N*）．（1）证明：≥3；（2）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ（λ＞0）．（Ⅰ）求点C的轨迹Г；（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．20．设二次函数f（x）=ax2+2bx+c（c＞b＞a），其图象过点（1，0），且与直线y=﹣a有交点．（1）求证：；（2）若直线y=﹣a与函数y=|f（x）|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）第一次教学质量检测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则（∁RA）∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A以及它的补集，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|﹣1＜x≤2}，则∁RA={x|0＜x＜2}（∁RA）∩B={x|0＜x＜2}．故选：B．2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=（）A．B．C．2D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知可得sinx=2cosx+，两边平方，整理可得：5cos2x+4+4cosx=0，解得：cosx=﹣，可求sinx，利用同角三角函数基本关系式即可求值．【解答】解：∵sinx﹣2cosx=，∴sinx=2cosx+，∴两边平方得：sin2x=1﹣cos2x=4cos2x+5+4cosx，整理可得：5cos2x+4+4cosx=0，解得：cosx=﹣，解得：sinx=2×（﹣）+=，∴tanx===﹣．故选：A．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．∴该几何体的侧面PAB的面积==．故选：D．4．命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题：“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定为：∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinx．故选：A．5．设x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若函数f（x）存在零点x0，则（）A．x0＜aB．x0＞aC．x0＜cD．x0＞c【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数为增函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案．【解答】解：∵y=2x在（0，+∞）上是增函数，y=logx在（0，+∞）上是减函数，可得x在（0，+∞）上是增函数，由0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，此时B成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞c＞a．综上可得，B成立．故选：B．6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：=1，﹣=1（ai，bi＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn•，结合e2=2e1，化简整理即可得出．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：=1，﹣=1（ai，bi＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn•，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为5c2=a12+4a22，∴+=5．∵e2=2e1，∴e1=，故选：C．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若=x+y，则x+y的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案．【解答】解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1．连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴=+．则点P在线段MN上时，+=1，故x+y=2．同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．故选：B．8．记Sn是各项均为正数的等差数列{an}的前n项和，若a1≥1，则（）A．S2mS2n≥Sm+n2，lnS2mlnS2n≤ln2Sm+nB．S2mS2n≤Sm+n2，lnS2mlnS2n≤ln2Sm+nC．S2mS2n≥Sm+n2，lnS2mlnS2n≥ln2Sm+nD．S2mS2n≤Sm+n2，lnS2mlnS2n≥ln2Sm+n【考点】等差数列的性质．【分析】举出符合条件的数列，采用验证得答案．【解答】解：由Sn是各项均为正数的等差数列{an}的前n项和，可采用取特殊数列方法验证排除，如：数列1，2，3，4，5，6，…取m=1，n=1，则S2m=S2=3，S2n=S4=10，Sm+n=S3=6，∴S2mS2n=S2S4=30＜36==Sm+n2，lnS2mlnS2n=ln3•ln10＜ln26=ln2Sm+n．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=5．（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：ln2=a，ln3=b，则ea+eb=eln2+eln3=2+3=5．故答案为：5．10．设函数f（x）=﹣ln（﹣x+1）；g（x）=，则g（﹣2）=﹣ln3；函数y=g（x）+1的零点是1﹣e．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】g（﹣2）=f（﹣2），令g（x）=﹣1，对x进行讨论，列方程组解出x即可．【解答】解：∵当x＜0时，g（x）=f（x），∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣ln3．令y=g（x）+1=0得g（x）=﹣1，∴或，解得x=1﹣e．故答案为：﹣ln3，1﹣e．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过O时