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第一章1.21.2.1A级基础巩固一、选择题1．设x∈R，则x2的一个必要不充分条件是导学号03624096(A)A．x1B．x1C．x3D．x3[解析]首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x2”)，p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q⇒p，显然只有A满足．2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是导学号03624097(A)A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若xy，则x2y2[解析]B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y0时，x，y无意义；D项中，当xy0⇒x2y2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为导学号03624098(B)①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sinx；②若x5，则x2；③若x2－9＝0，则x＝3.A．0B．1C．2D．3[解析]①中，周期函数还有很多，如y＝cosx，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．4．(2016·广西南宁高二检测)“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的导学号03624099(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝12，故x(2x－1)⇒/x＝0一定成立，而x＝0⇒x(2x－1)＝0成立，∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．5．“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互直垂直”的导学号03624100(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，解得a＝－1或a＝－2，故选A．6．(2016·天津文)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的导学号03624101(C)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件．二、填空题7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)导学号03624102[解析]x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/x＝3，故p是q的充分不必要条件．8．已知a、b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的__充要__条件.导学号03624103[解析]a0且b0⇒a＋b0且ab0，a＋b0且ab0⇒a0且b0，故填充要．三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？导学号03624104(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．B级素养提升一、选择题1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的导学号03624105(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由面面平行的判定定理可知，由m∥β⇒/α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m∥β，必要性成立．2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p是q的导学号03624106(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]x＋y＝－2⇒/x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的导学号03624107(C)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3⇒命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3⇒x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5⇒命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的导学号03624108(B)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的导学号03624109(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要条件．故选A．二、填空题6．下列不等式：①x1；②0x1；③－1x0；④－1x1.其中，可以是x21的一个充分条件的所有序号为__②③④__.导学号03624110[解析]由于x21，即－1x1，①显然不能使－1x1一定成立，②、③、④满足题意．7．“k4，b5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)导学号03624111[解析]当k4，b5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－50，∴b5.当y＝0时，x＝5－bk－40，∵b5，∴k4.故填“充要”．8．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的__必要不充分__条件.导学号03624112[解析]sinα＝sinβ⇒/α＝β，α＝β⇒sinα＝sinβ，故填必要不充分．C级能力提高1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(用“充分条件”或“必要条件”作答)导学号03624113(1)向量a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，p：x1x2＝y1y2，q：a∥b；(2)p：|x|＝|y|，q：x＝－y；(3)p：直线l与平面α内两条平行直线垂直，q：直线l与平面α垂直；(4)f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，p：f(x)、g(x)均为偶函数，q：h(x)为偶函数．[解析](1)由向量平行公式可知：p⇒q，但当b＝0时，a∥b不能推出x1x2＝y1y2，即q不能推出p，∴p是q的充分条件．(2)∵|x|＝|y|⇒x＝±y，∴p不能推出q，但q⇒p，∴p是q的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q⇒p，∴p是q的必要条件．(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p⇒q，但q不能推出p，∴p是q的充分条件．2．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.导学号03624114[解析](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝10，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m0，即m≥2.综上可知，命题成立．