新人教高二数学6.1“不等式证明”的针对训练

不等式证明专项训练【例题精选】：例1设ababbaab002122121212,,求证：。证明1左边右边abbaab()()()()()()()()()()abababababaabbababababaabbabababab3322abababab000002,,(),()()ababab20即原不等式成立。证明2左边右边()()()abaabbababaabbabababababab21000,()()()().abaabbababababababbaab332122121212即小结：比较法证明不等式的重点是“变形”，变形的常用手段是：分解因式、配方和分式的基本性质，“判断”是目的，这步应有严格的推理证明。例2设0101xaa,,,求证：|log()||log()|aaxx11分析：本题仍可用“求差”和“求商”两种方法证明。证明1左边右边|log()||log()|aaxx1101011120110111101010222xxxxxaxxxaaa,,,log(),log(),log()当时，且|log()||log()|log()log()log(),|log()||log()|log(),log(),log()aaaaaaaaaaxxxxxxxaxxx111110110110101022即当时，|log()||log()|log()log()aaaaxxxx1111log(),|log()||log()|aaaxxx10112即原不等式成立。证明2左边右边|log()||log()||log()|aaxxxx1111011120111011111111xxxxxxxxxxx,,log()|log()|log()log又01101112xxx()()1111111xxxxlog即|log()|111xx|log()||log()||log()|aaaxxx1011小结：本题是一个条件不等式的证明，证明的关键是使用条件，否则，比较法的第三步——判断就不能完成，使用条件的方法总起来说有两种——代入法和推出法。例3已知||,||,,xyxyR11、求证：xyxy11证明：||,||,,xyxRyR11||1011xyxyxy要证明成立只要证只要证即证即证即证||||()()()()xyxyxyxyxxyyxyxyxyxyxy1121210110222222222222xyxy2222111010,,()()11022xy成立原不等式成立。例4当时，求证：ab0log()log()log()12122122121121abab证明：要证明log()log()log()12122122121121abab成立只要证明只要证211110121221221221222log()log()log()log()log()()()ababababab由于函数在区间内是减函数只要证即证即证yxababaabbababablog(,)()()()()()12222222222011211210即证()ab102上式显然成立原不等式成立。小结：（1）分析法的表达格式很重要，若表达不合要求就不是证题方法，而只是一种思维方法。（2）分析法的基本格式：要证明……只要证……，即证……，即证……，因为（要严格证明）上式成立，所以原不等式成立。例5已知ab002,,.求证：abtgabsec22证明：0210,,seccossincostg又ababtg0sec.abtgababtgababtgabaabtgbtgatgabtgbatgbsec,.sec(sec)(sec)sec()secsec(sec)0012102002222222222222222要证成立只要证即证即证即证上式显然成立原不等式成立小结：条件不等式证明的关键仍是使用条件，这些条件可使充分条件的变形得以保证。从本题可以看出，但当证明思路没有找到时，可考虑用分析法证明，而且分析法可减少证明中的障碍。例6设abcR、、求证：（）（）162114ababbcbccacaabcabcabc()()()()证明：（1）左边ababbccbcaca222222()()abbccaabbcca22222233633333333abcabcabc右边原不等式成立另证：左边.ababbcbccaca222222()()()abbcbccacaababcabcabcabc2222222222222222226原不等式成立.（2）左边[()]abcabc112214abcabc()()·右边原不等式成立.小结：在（1）中的两种证明方法，都是根据平均值不等式的式子结构——从和到积、从大到小，而将所证不等式的左边重新组合，使问题得解，因此掌握各重要不等式的结构特点是“适当”选择的关键。在（2）中的变形是依据重要不等式()(aaaaaannn12122111这里aRini,,,,.)12而采取的，这种变形手段值得重视。例7已知aaaaa2111.log()log().求证：分析：所证不等式是从积到和，所以应是平均值不等式的反用。证明：aaa21113,log(),log().log()log()log()log()log()log.aaaaaaaaaaaaaaaa10101111212112122原不等式成立小结：对于函数式构成的不等式，利用函数的增减将不等式的一边放大或缩小，是常用的基本放缩手段。例8已知annnNn1223341()().求证：nnann()()121313分析：an的表达式的结构知，要想直接求和来达到证明的目的是不可能也是不必要的，所以将an适当放大和缩小，使求和成为可能，从而使问题得解。证明：设，则kNkkkk()12annnn12312()又kkkkannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn()()()()()()()()()().()()11123413213112321336233139623126013112323332233annnn1231313()().原不等式成立小结：本题用到了两种放缩手段，一种是将kk()1中一个因式放大或缩小，一种是算差的方法将1231313nnn()()放大到。这也是放缩的常用的基本手段。例9已知xyzRxyzxyz、、，且其中求证：||,||,||,.||369023.证明：||,||,||xyz369||||||||.xyzxyz232332639小结：重要不等式||||||||||ababab是对含绝对值符号的不等式进行变换的又一重要工具，要注意恰当使用。例10设abcdRabcd、、、，且求证：.abacbdcd.证明：设则mabMcd,,mabMmcdMbdRmbaMbmdcMdmbmdacMbMd,,、mbdacMbd()()macbdMabacbdcd,.即小结：这里证明条件不等式的方法用的是推出法，即从已知的条件直接推出所证明的不等式，这种方法对于条件复杂结论简单的命题常常使用。这里提供的证明，类似于初中的等比定理的证明，注意两者之间的差别。例11当nNnn时，求证：1121312证明：（1）当时，左边，右边n11212左边右边不等式成立假设时，不等式成立。,.()nkk1即由归纳假设知，当时，有1121312111213111211211121211121211121111211111kknkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk()()()()()()()()kkkkkkkkkkknk11102121111121311211().()即当时，不等式也成立。由（1）和（2）知，原不等式对任何nN都成立。小结：在本证明中，第二步的证明用的是算差比较法，这一步也可用下列方法证明。（1）当时，要证明nk11121121…成立kk由归纳假设，只要证明211212211121112211kkkkkkkkkkk只要证即证()kkkkkkkknk102121444101122只要证即证即证上式显然成立当时，不等式也成立。()()（2）当时，由归纳假设，有nk111213111211211214112121121121122…当时，不等式也成立kkkkkkkkkkkkkkknk()()..例12已知函数fxtgxxxxxx(),,,,,02021212若、且，证明：1221212[()()]fxfxfxx证明1：要证明1221212[()()]fxfxfxx即证即证122121121211221212()sincossincossin()cos()tgxtgxtgxxxxxxxxxx即证sin()coscossin()cos()xxxxxxxx1212121221xxxxxxxxxx12121212120200010、,,(,),sin(),coscos,cos()只要证即证即证即证由于、，且，上式显然成立。21211102122121212121212121212121212coscoscos()coscoscoscossinsincoscossinsincos(),[()()]xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxx证明2：1221212[()()]fxfxfxx1212212212212212122121212112212112112212212tgxtgxtgxxtgxtgxxtgxtgxxtgxxxtgxtgxxtgxxxtgxtgxx12212122121211221212tgxxtgxtgxxtgxxtgxtgxx()()1222212