南溪一中高2011级数学寒假作业（六）

南溪一中高2011级数学寒假作业（六）班级姓名学号一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1、等轴双曲线的离心率为()(A)1(B)2(C)2(D)42、已知抛物线y=2x2，则焦点坐标为()(A)(12,0)(B)(0,12)(C)(0,18)(D)(0,18)3、一动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切，与圆O2:(x3)2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹是()(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆4、已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)x2=16y(D)x2=16y5、已知双曲线222yax=1(a0)的一条准线与抛物线y2=6x的准线重合，则该双曲线的离心率为()(A)32(B)32(C)62(D)2336、椭圆36y100x221上，一点P到右准线的距离为10，则该点在左焦点的距离()(A)8(B)10(C)12(D)147、若直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支有两个没的交点，则k的取值范围是()(A)315,315(B)1,315)D(0,315)C(315,08、过双曲线2x2y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，当|AB|=4时，这样的直线有()条(A)4(B)3(C)2(D)19、已知点P(8,1)平分双曲线x24y2=4的一条弦，则该弦所在直线的斜率为()(A)1(B)2(C)12(D)1410、已知点P在圆x2+(y2)2=1上，点Q在抛物线x2=y上，则|PQ|的最小值为()(A)0(B)1(C)271(D)2711、已知AB是经过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦，则|AB|为直径的圆必与抛物线的准线()(A)相交(B)相切(C)相离(D)无关系12、如图，P是椭圆9y25x22=1上的一点，F是右焦点，且OQ=12(OFOP)，|OQ|=4，则P到右准线的距离为()(A)52(B)1(C)2(D)3二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)将答案直接写在题中横线上。13、点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为。14、双曲线C与椭圆4y8x22=1有相同的焦点，直线y=3x是C的一条渐近线方程，则双曲线C的方程为。15、已知定点Q(4,0)，P是x2+y2=1上的动点，M分PQ所成的比为1:3，则动点M的轨迹方程为。16、抛物线y=12x2x+12的焦点坐标为。三、简答题：(本大题共小题，共74分)解答应写出必要的文字说明，证明或推演步骤。17、(本小题12分)已知直线y=ax+1与抛物线y2=8x只有一个公共点，求a的值。18、(本小题12分)已知一双曲线离心率为2，F1、F2分别是其左、右焦点，P为双曲线上的点，且F1PF2=60，PF1F2的面积为123，求双曲线标准方程。19、(本小题12分)已知直线l与椭圆9y2+4x2=36相交于A、B两点，弦AB中点为E(1,1)，求直线AB的方程。20、(本小题12分)已知圆O：x2+y24ax2ay+20a25=0(1)无论a为何实数，求圆O恒经过的定点；(2)当a变化时，求圆心的轨迹方程，并求这些圆中面积最小的圆的方程。21、(本小题12分)已知直线y=x+m与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点，O为坐标原点，求：(1)|AB|；(2)三角形ABO面积的最大值，并求此时m的值。22、(本小题14分)已知椭圆G：xayb2222=1(ab0)的两个焦点F1(c,0)、F2(c,0)，M为椭圆上一点，且F1M·F2M=0(1)求离心率e的取值范围；(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，①求此时椭圆的方程；②设斜率为k(k0)的直线l与椭圆G相交于不同两点A、B，设Q为AB中点，问：A、B两点能否关于过点P(0,33)，Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。南溪一中高2011级数学寒假作业（六）答案一、选择题：123456789101112BCBDDCDBBCBA二、填空题：13、514、xy223115、229(1)16xy16、(,)112三、解答题：17、解：(1)当a=0时，直线方程为y=1，解方程组：yyx182得：xy181，即直线与抛物线只有一个交点(18,1).(2)当a0时，由方程组：yaxyx182得：ay2-8y+8=0，要直线与抛物线只有一个交点，则必有=82-48a=64-32a=0，解得a=2.综上所述，符合条件的a的值为0或2。18、解：设所求双曲线实半轴长为a，半焦距为c，虚半轴长为b。由于P是双曲线上一点，由双曲线的定义有：||PF1|-|PF2||=2a，所以有|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2………………①又因为三角形PF1F2的面积等于123,且F1PF2=600,所以有12|PF1||PF2|sin600=123,从而得|PF1|.|PF2|=48…………………………②在三角形PF1F2中由余弦定理得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos600,所以有:|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2……………………③由①②③得48+4c2-96=4a2,即a2-c2+12=0,又因为双曲线的离心率为2,所以ca=2即c=2a，解方程组：acca221202得：ac24，因为b2=c2-a2=16-4=12，所以所求双曲线的标准方程为：xy22412=119、解：设点A与B的坐标分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线AB的斜率为k。由于A与B都在椭圆上，所以有：9y22+4x22=36,9y12+4x12=36。两式相减得：9(y22-y12)-4(x22-x12)=0，即：9(y2-y1)(y2+y1)-4(x2-x1)(x2+x1)=0，又因为点E(1,1)是点A与B的中点，所以有：12(x1+x2)=1，12(y1+y2)=1，即x1+x2=2，y1+y2=2，代入上式得92(y2-y1)-42(x2-x1)，所以有：k=yyxx2121=49由点斜式得所求直线的方程为：y=49(x-1)+1，即：4x-9y-13=020、解：(1)由原方程得：x2+y2-25+a(-4x-2y+20)=0，这表示过圆x2+y2=25与直线-4x-2y+20=0的交点的圆系方程，解方程组：xyxy222542200得：xy34或xy50。所以无论a为何实数，圆O恒经过定点(3,4)及(5,0)。(2)由原方程配方得：(x-2a)2+(y-a)2=5(a2-4a+5)，所以这个圆的圆心O(x,y)必然满足：xaya2，从两式中消去a得圆心运动的轨迹方程为：x-2y=0。由上式配方得已知圆的半径r满足：r2=5(a2-4a+5)=5[(a-2)2+1]5，当且仅当a=2时半径r取最小值5，这时圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=521、解：(1)由于直线y=x+m与椭圆x2+4y2=4交于A、B两点，所以设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则两个点的坐标是方程组：xyyxm2244的解。由方程组得5x2+8mx+4m2-4=0……………………(*)对于方程(*)，必然有=64m2-45(4m2-4)0，整理得m25，-5m5。且x1,x2是这个方程的两个实根。由根与系数的关系得：x1+x2=-85m，x1x2=45(m2-1)。由弦长公式得：|AB|=1221kxx||=22421212212()()xxxxxx=85532m。(2)设点O到直线y=x+m的距离为d，则由点到直线的距离公式得d=||m2.所以三角形ABO的面积S=12.|AB|.d=1285532m||m2=261535322mm()2615353222mm=63到等号的条件是：3m2=5-3m2，即m2=56，m=306.所以当m=306时，三角形ABO面积最大，其最大值为63。22、解：（1）因为点M是椭圆上的一点，设M的坐标为(x0,y0)。由椭圆的定义有：|MF1|+|MF2|=2a，所以有：|MF1|2+2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2………………①由于有：FMFM12.=0，所以有F1MF2M，所以在三角形F1F2M中由勾股定理得：|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2代入①式得：|MF1||MF2|=2b2。由三角形面积公式有：SFFM12=12|MF1||MF2|=b2，而SFFM12=12|F1F2||y0|=c|y0|。所以有|y0|=bc2。由于点M(x0,y0)在椭圆xayb22221上，所以有：xabbc0224221，从而得：x02=a2-abc222.因为：0022xa，所以由上式得：1-bc220，c2b2，c2a2-c2，2c2a2，e2=ca2212，从而得1e22。所以所求椭圆的离心率的范围是[22,1)。(2)由(1)得当离心率e=22=12时，取得最小值，即ca=12，设c=k，a=2k，则由于b2=a2-c2=2k2-k2=k2，所以有b=k。这样椭圆的方程变为：x2+2y2=2k2。设P(x,y)是椭圆上任意一点，则必有x2+2y2=2k2，x2=2k2-2y2。由两点间距离公式得：|PN|2=x2+(y-3)2=2k2-2y2+y2-6y+9=-y2-6y+2k2+9，其中-kyk。由于|PN|2是关于y的二次函数，且这个二次函数开口向下，对称轴为y=-3.所以当-3-k，即0k3时，函数在y=-k时取得最大值，为|PN|2max=-k2+6k+2k2+9=k2+6k+9=(k+3)2，即|PN|max=|k+3|，由已知|PN|max=52。所以有|k+3|=52，k=-352，而k=-3-520，k=-3+523均不合题意，舍去。当-k-3，即k3时，函数在y=-3时取得最大值，为|PN|2max=-9+18+2k2+9=2k2+18，由已知|PN|max=52，所以2k2+18=50，从而有k2=16，k=4符合题意。这时a=42,b=4，椭圆的方程为：xy2232161。(3)设符合条件的点A与B的坐标分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点坐标为Q(x0,y0)。由于点A与B都在椭圆上，所以有：xy222232161，xy121232161两式相减得：xxyy2212221232160，即()()()()xxxxyyyy2121212132160由中点坐标公式得：x0=12(x1+x2)，y0=12(y1+y2)，代入上式得：x0=2ky0。从而点Q的坐标为(2ky0,y0)，设直线PQ的斜率为k1。由斜率公式得直线PQ的斜率k1=yky00332。由于PQ与AB垂直，所以有yky00332.k=-1，从而可得：y0=-39，所以x0=-239k。所以点Q坐标为(-239k,-39).直线AB的方程为y=k(x+239k)-39.由已知该直线与椭圆xy2232161即：x2+2y2=32有二交点，所以方程组：xyykx2223223939()必有两组实数解。消去y得关于x的一元二次方程：(1+2k2)x2+4k(239k2-39)x+2(239k2-39)2=0按已知，这个方程应有二不等实数根，所以必有：=[4k(239k2-39)]2-4(1+k2).2(239k2-39)2=-8(239k2-3