梅州中学2011届高三理科数学第一次月考试题

梅州中学2011届高三第一次月考数学(理科)试卷命题时间：2010.8.23本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合,R,,0,,R,,0,yxyxyxByxyxyxA则集合AB的元素个数是(B)A．0B.1C.2D.32、已知函数bxaxf)12()(在R上是减函数，则a的取值范围为（D）A．21aB.21aC.21aD.21a3、已知()fx在R上是偶函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)fxfxxfxxf当时，则（A）A.2B.-2C.98D.-984、若复数immmm)23()22lg(22是纯虚数，则实数m等于（B）A.-1B.3C.-1或3D.1或35、如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。则该几何体的俯视图可以是(C)6、下列命题错误的是（C）A．命题“若2320,1xxx则”的逆否命题为“若21,320xxx则”；B．若命题2000:,10,:,10pxRxxpxRxx则；C．若pq为假命题，则,pq均为假命题；D．“2x”是“2320xx”的充分不必要条件。7、已知函数)32(log)(25.0axxxf在区间1,上是增函数，则a的取值范围是（A）A.2,1B.)2,1(C.)1,(D.1,8、如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（C）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、不等式2211xx的解集是.2222211211211020211xxxxxxxxxx10、双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为0,2，则此双曲线的方程是2213yx．11、若函数f(x)=ax（a0且a≠1）的反函数为y=)(1xf，且)21(1f=2，则f(-2)=2．12、函数4522xxy的最小值为25．13、已知函数)(xfy的定义域和值域都是]1,1[（其图像如下图所示），函数],[,sin)(xxxg．则方程0))((xgf的所有不同实数根的个数是．下面两题中选做一题14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线1C：3cos与2C：cos4（其中0，20）交点的极坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若4PA，5PC，3CD，则CBD．三、解答题：16、（本题满分12分）在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且32,35,6Bba.（1）求Asin；（2）求ACB2cos)cos(的值.解：（1）在ABC中，由正弦定理得BbAasinsin…………………………………2分将32,35,6Bba代入上式得，32sin35sin6A………………………2分解得53sinA；……………………………………………………………2分（2）ABC中，CBA,且B为钝角，所以54cosA…………………2分54cos)cos(ACB……………………………………………………1分)6,32(ODCBAP第15题图30257sin212cos2AA………………………………………………………1分所以2513257542cos)cos(ACB…………………………………2分17、（本题满分14分）如图所示的长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，12BB，M是线段11BD的中点．（Ⅰ）求证：//BM平面1DAC；（Ⅱ）求证：1DO平面1ABC；（Ⅲ）求二面角1BABC的大小．解:（Ⅰ）连接1DO，如图，∵O、M分别是BD、11BD的中点，11BDDB是矩形，∴四边形1DOBM是平行四边形，∴1//DOBM．……………………………………………2分∵1DO平面1DAC，BM平面1DAC，∴//BM平面1DAC．…………………………4分（Ⅱ）连接1OB，∵正方形ABCD的边长为2，12BB，∴1122BD，12OB，12DO，则2221111OBDOBD，∴11OBDO．……………6分∵在长方体1111ABCDABCD中，ACBD，1ACDD，∴AC平面11BDDB，又1DO平面11BDDB，∴1ACDO，又1ACOBO，∴1DO平面1ABC．…………………………………………8分第18题图（Ⅲ）在平面1ABB中过点B作1BEAB于E，连结EC，∵CBAB，1CBBB，∴CB平面1ABB，又1AB平面1ABB，……………………………9分∴1CBAB，又1BEAB，且CBBEB，∴1AB平面EBC，而EC平面EBC，………………………………10分∴1ABEC．∴BEC是二面角1BABC的平面角．…………………………12分在RtBEC中，233BE，2BC∴tan3BEC，60BEC，∴二面角1BABC的大小为60．………………………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1DO，则点(1,1,0)O、1(0,0,2)D，∴1(1,1,2)OD又点(2,2,0)B，(1,1,2)M，∴(1,1,2)BM∴1ODBM，且1OD与BM不共线，∴1//ODBM．又1DO平面1DAC，BM平面1DAC，∴//BM平面1DAC．…………………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1,2)(1,1,2)0ODOB，1(1,1,2)(2,2,0)0ODAC∴11ODOB，1ODAC，即11ODOB，1ODAC，又1OBACO，∴1DO平面1ABC．…………………………………………8分（Ⅲ）∵CBAB，1CBBB，∴CB平面1ABB，∴(2,0,0)BC为平面1ABB的法向量．∵11ODOB，1ODAC，∴1(1,1,2)OD为平面1ABC的法向量．∴11cos,2BCOD，∴BC与1OD的夹角为60，即二面角1BABC的大小为60．……………………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1BABC的大小为，1ABC在平面1ABB内的射影就是1ABB，根据射影面积公式可得11cosABBABCSS，11122ABBSABBB，111222ABCSACBO∴1121cos222ABBABCSS，∴二面角1BABC的大小为60…………14分18、（本题满分12分）已知函数2)1()(xxf，数列}{na是公差为d的等差数列，}{nb是公比为q（,1qRq）的等比数列.若1(1),afd3(1),afd1(1),bfq3(1).bfq(Ⅰ)求数列}{na，}{nb的通项公式；(Ⅱ)设数列}{nc对任意自然数n均有12112nnncccabbb，求13521ncccc的值.解：（I）∵a3-a1=2d∴f(d+1)-f(d-1)=2d即：d2–(d-2)2=2d解得：d=2∴a1=0an=2（n-1）∵b3/b1=q2∴f(q+1)/f(q-1)=q2=q2/(q-2)2∵q≠0,q≠1∴q=3∵b1=f(q-1)=1∴bn=3n-1(II)由已知得到：c1/b1=a2∴c1=a2b1当2n时,1121121nnnnnccccabbbb,112121nnncccabbb,两式相减,得12nnnncaab.∴1223nnncb(1122cba适合).………………………………11分∴13521ncccc24222(1333)n2231=231n2314n.即13521ncccc2314n.………………………………………14分19、（本题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测.为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即1n；9点20分作为第二个计算人数的时间，即2n；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.对第n个时刻进入园区的人数()fn和时间n（nN）满足以下关系（如图1）：)9073(0)7237(21600300)3625(33600)241(3600)(1224nnnnnnfn，Nn对第n个时刻离开园区的人数()gn和时间n（nN）满足以下关系（如图2）：Nnnnnnng,)9073(5000)7225(12000500)241(0)(（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.（图1）108003600249072361O1nf(n))(nf1080036001124367290nO2472)(ng24000120006000500090n（图2）36解：（1）当024n且nN时，()3600fn，当3625n且nN时，2412()36003nfn，………………………2分所以36(1)(2)(3)(24)Sffff…)36()26()25(fff3600×243600×12121212331318640082299.59168700；………………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是：12(25)(26)(36)Tggg12×5001211500239000；…2分所以361216870039000129700SST（人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客.……2分（2）当0)()(ngnf时园内游客人数递增；当0)()(ngnf时园内游客人数递减.(i)当241n时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；……………2分(ii)当3625n时，令360012000500n，得出31n，即当3125n时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………2分当3632n时，12000500336001224nn，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；…………………………………………………………………2分(iii)当7237n时，令3002160050012000nn时，42n，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整.…………2分20、（本题满分14分）在直角坐标系xOy中，动点P到两定点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设动点P的轨迹为C，过点(03)，的直线与C交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．解：（1）设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)，，(03)，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b，故曲线C的方程为2214yx．……4分（2）①设过点(03)，的直线方程为y=kx+3,1122()()Ax