弥勒县2009-2010（上）高三期末数学试卷（文、理）

弥勒县2009-2010学年上学期期末考试高三数学(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题1．在复平面内，复数(12)zii对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知||||1,||1abab，则||abA．1B．3C．32D．23．从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为A．3264CCB．2364CCC．510CD．3264AA4．函数31()fxxx的图象A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线yx对称D．关于坐标原点对称5．曲线lnyx在xe处的切线的斜率为A．12eB．12eC．2eD．126．na是1*(1)()nxnN的展开式中含2x的项的系数，则nnaaa1`11lim21A．1B．2C．3D．47．定义在R上的函数()fx满足()()3fxfx，且()()fxfx，则()fx可以是A．1()2sin3fxxB．()2sin3fxxC．1()2cos3fxxD．()2cos3fxx8．将233,log3,log52从小到大排列是A．233log3log52B．323log5log3,2C．323log5log32D．233log3log529.若三个数sin、52、2cos成等差数列，则tanA.12B.2C.12D.-210．已知公比不为1的正数等比数列{}na的通项公式为*()()nafnnN，记其反函数为1()yfx，若11(3)(6)7ff，则数列{}na的前六项乘积为A．33B.63C.36D.31811.设112a，则椭圆22221(1)xyaa的离心率的取值范围是A．20,2B．2,12C．30,3D．（0，1）12.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个1212,()xxxx均有1212()()fxfxkxx成立，则称函数()fx在定义域上满足利普希茨条件，若函数()(1)fxxx满足利普希茨条件，则常数k的最小值为A.14B.12C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13.011limxxx_________。14、61(2)2xx的展开式的常数项是.（用数字作答）15．设nS是等差数列的前n项和，若3613SS，则612SS等于16．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是。三、解答题17.（10分）在△ABC中,角A、B、C所对边分别是a、b、c,且31cosA.(1)求ACB2cos2sin2的值;(2)若3a,求ABC面积的最大值.18、（12分）袋中装有4个黑球和3个白球共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数．（1）求恰好取球3次的概率；（2）求随机变量的概率分布；19.（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，60,1,2ABCPAACPBPD，点E在PD上，且:2:1PEED（1）证明：PAABCD平面；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；tesoon20．（12分）已知函数()eexfxx．(1)求函数()fx的最小值；(2)求证：11111231e1nnn()nN；21.（12分）已知数列na中，1cos2a0)2（，111,2,3,...2nnaan．（1）求2a、3a；（2）求na；(3)设nS为数列2na的前n项和，证明：2nS．22．（12分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是0yx，且双曲线C过点P（2，1）（1）求此双曲线C的方程；（2）设直线l过点A（O，1），其方向向量为(1,)ek（k0），令向量n满足0en，双曲线C的右支上是否存在唯一一点B，使得nABn．若存在，求出对应的k值和B的坐标；若不存在，说明理由。弥勒县2009-2010学年上学期期末考试高三数学(理科)评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案BBADABDBADDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.-20153101673R三、解答题17．解:(1)ACBACB2cos)]cos(1[212cos2sin21cos2cos21212AA91219123121…………………………5分(2)由余弦定理得:222222224(3)2cos2333abcbcAbcbcbcbcbc∴49bc当且仅当23cb时,bc有最大值49∴max1192232()sin22434ABCSbcA……………10分18.解：（1）恰好取球3次的概率3565673341P；……………5分（2）由题意知，的可能取值为1、2、3、4、5，…………6分317P，4322767P，4336376535P，432334765435P，43213157654335P．所以，取球次数的分布列为：12345P3727635335135……12分19．解:解法一：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，60ABC，所以1ABADAC，在PAB中，由2222PAABPB知PAAB同理，PAAD所以PA平面ABCD……6分（2）解：作//EGPA交AD于G，由PA平面ABCD知EG平面ABCD作GHAC于H，连接EH，则.EHACEHG即为二面角的平面角。又:2:1,PEED所以123,,sin60333EGAGCHAG从而3tan,303EGGH……………12分解法二：解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，60ABC，所以1,ABADAC在PAB中，由2222PAABPB知PAAB同理，PAAD，所以PA平面ABCD……6分（2）以A为坐标原点，直线ADAP、分别为y轴，z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图，由题设条件，相关各点的坐标分别为3131(0,0,0),(,,0),(,,0)2222ABC21(0,1,0),(0,0,1),(0,,)33DPE所以2131(0,,).,(,,0)3322AEAC31(0,0,1),(,,1)22APPC31(,,1)22BP设(,,)nxyz是平面ACE的一个法向量。则,nACnAE0,nACnAE=03102221033xyyz令3x得3.6yz即(3,3,6),||43nn又由已知(0,0,1)AP是平面ACD的一个法向量，且||1AP63cos2||||43APnAPn，30……………12分20.解：(1)因为()eexfx，令()ee0xfx，解得1x，令()ee0xfx，解得1x，所以函数()fx在(,1)上递减，(1,)上递增，所以()fx的最小值为(1)0f．…………5分(2)证明：由(Ⅰ)知函数()fx在1x取得最小值，所以()(1)fxf，即eexx两端同时乘以1e得1xex，把x换成1t得e1tt，当且仅当0t时等号成立．由e1tt得，1e112，1213e122，1314e133，…111e111nnnn，111e1nnnn．将上式相乘得11111231341e21231nnnnnnn．…………………12分21．解：（Ⅰ）解:由111,2,3,...2nnaan，1cos2a0)2（得22cos2a，33cos2a.…………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得cos2nna1,2,3,...n，…………………4分用数学归纳法证明:①当1n时，1cos2a成立.②假设nk时，cos2kka成立，那么21111cos12coscos2222kkkkkaa0)2（所以当1nk时，等式也成立.由①、②得cos2nna0)2（对一切*nN成立.………8分（Ⅲ）证明:设()sin02fxxxx，则()1cos0fxx，所以()sinfxxx在0,2上是增函数．故()(0)0fxf．即sin02xxx．因为cossin22222nnnna，故22nna．2222nnS=111122112212nn.……12分22．解：（1）设双曲线C的方程为22(0)xy，将点(2,1)P代入可得1，∴双曲线C的方程为221xy-----------3分（2）依题意，直线l的方程为1(0)ykxk设00(,)Bxy是双曲线右支上满足||||nABn的点，结合0ne，得200|1|1kxyk即点00(,)Bxy到直线l的距离002|1|11kxydk-----------6分①若01k，则直线l与双曲线C的右支相交，此时双曲线C的右支上有两个点到直线l的距离为1，与题意矛盾；②若1k，则直线l在双曲线C右支的上方，故001ykx，从而20011ykxk---------------------9分又因为22001xy，所以2222200(1)2(11)3210kxkkxkk当1k时，方程有唯一解02x，则(2,1)B；当1k时，由0得52k，此时方程有唯一解05x，则(5,2)B综上所述，符合条件的k值有两个：1k时，(2,1)B；52k时，(5,2)B-----------------12分