2011-2012届清远盛兴中英文学校高三下学期第一次月考数学理科试题

广东清远盛兴中英文学校2011—2012学年度下学期高三第一次月考试题数学（理）满分100分，考试时间为120分钟。一、本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合}2012|||{xxM，}10|{xxN，则下列关系中正确的（）A．MNRB．{|01}MNxxC．MND．MN2．复数220112012ii的虚部为（）A．52B．51C．―52D．―513．根据下列三视图（如下图所示），则它的体积是（）A．3aB．33aC．33aD．34a4．函数)sin()(xAxf的图象如图所示，为了得到xAxgcos)(的图像，可以将)(xf的图像（）A．向右平移12个单位长度B．向右平移125个单位长度C．向左平移12个单位长度D．向左平移125个单位长度5．已知x，y满足不等式组22224222yxyxtyyxxy则的最小值为（）A．59B．2C．3D．26．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）A．21B．32C．43D．547．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足1122::PFFFPF=4:3:2，则曲线C的离心率等于（）A．1322或B．23或2C．12或2D．2332或8．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足1()2OROPOQ，R在抛物线准线上的射影为S，设、是PQS中的两个锐角，则下列四个式子中不一定．．．正确的是（）A．tantan1B．sinsin2C．coscos1D．|tan()|tan2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（9-----13为必做题，14、15选一个作答，如果都选，按14题计分）1,3,59．曲线214yyxxx与直线及所围成的封闭图形的面积为（）10．已知函数|3|||)(xxxf，若f（x）xa恒成立，则a的取值范围是；11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为；12．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，33CA，若2AFACAEAB，则EF与BC的夹角的余弦值等于；13．在数列}{na中，311a，nS为数列}{na的前项和且nnannS)12(，则nS;（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，已知：ABC△内接于O圆，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若30B，2AC，则OD的长为。15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,过圆4cos的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是.(第14题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知向量)23sin,23(cosxxa，)2sin,2(cosxxb，且]23,2[x（1）求||ba的取值范围；（2）求函数||)(babaxf的最小值，并求此时x的值17．（本小题满分12分）2011年深圳大运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：动作KD得分100804010概率34143414乙系列：动作KD得分9050200概率910110910110现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；（II）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX。ACDBO18．（本小题满分14分）一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点。（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．（2）点E在何处时，PC面EBD，并求出此时二面角CBEA平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知椭圆1C、抛物线2C的焦点均在x轴上，1C的中心和2C的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3242y320422（Ⅰ）求12CC、的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过2C的焦点F；②与1C交不同两点,MN、且满足OMON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。20．（本小题满分14分）已知函数11)(xkxxf，且函数fx是1,上的增函数。（1）求k的取值范围；（2）若对任意的0x，都有111xexkx（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数k的值。21、已知等比数列{}na的首项12012a，公比12q，数列{}na前n项和记为nS，前n项积记为()n.（Ⅰ）求数列nS的最大项和最小项；（Ⅱ）判断()n与(1)n的大小，并求n为何值时，()n取得最大值；（Ⅲ）证明{}na中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为123,,,ndddd，证明:数列{}nd为等比数列。（参考数据1021024）广东清远盛兴中英文学校2011—2012学年度下学期高三第一次月考试题数学（理）参考答案一．选择题BB．D；．B．D．C．A；D；二．填空题9、42ln210．（－∞，3）；11．63a；12．32cosθ；13.21nnSn选作14.415.cos2三．解答题16．解析：（1）∵]23,2[x∴12cos1xxba2cos22||∴0≤||ba≤24分（2）∵]23,2[x∴0cos1x；…………6分∵xxbabaxf2cos222cos||)(1cos2cos2cos41cos2222xxxx………………10分∴当21cosx，即32x或34x时，||)(babaxf取最小值－23。……………………12分17．解析：（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．……1分理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名．……2分记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P（A）＝34，P（B）＝34．…………4分记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得P（C）＝P（AB）＋()PAB＝33134444×＋×＝34．该运动员获得第一名的概率为34．…………6分（II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，…………7分则P（X＝50）＝111010×＝1100，P（X＝70）＝191010×＝9100，P（X＝90）＝911010×＝9100，P（X＝110）＝991010×＝81100．…………9分X的分布列为：X507090110P11009100910081100∴EX＝50×1100＋70×9100＋90×9100＋110×81100＝104．……12分18．解析：（1）直观图如下：………………3分该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1。………………5分（2）如图所示建立空间直角坐标系：题号12345678答案BBDBDCAD显然A)0,0,3(、B)0,0,1(、P)1,0,0(．令PCPE，得：PE),0,3(、)1,0,3(E．显然)0,2,0(PEDB0),0,3(，当PEOE),0,3(4104)1,0,3(2．所以当PCPE41时，PC面BDE。………………9分分别令)1,,(111yxn和)1,,(222yxn为平面PBC和平面ABE的法向量，由01301001111xyPCnPBn，得)1,1,33(1n由043345030022222xyxAEnABn，得)1,53,53(2n可得：2597777||||,cos212121nnnnnn，显然二面角CBEA平面角为钝角，得其余弦值为2597777。…………14分19．解析：（Ⅰ）设抛物线)0(2:22ppxyC，则有)0(22xpxy，据此验证4个点知（3，32）、（4，4）在抛物线上，易求xyC4:22………………3分设1C：)0(:22222babyaxC，把点（2，0）（2，22）代入得：121214222baa解得1422ba∴1C方程为1422yx………………………………………………………………6分（Ⅱ）法一：假设存在这样的直线l过抛物线焦点(1,0)F，设直线l的方程为,1myx两交点坐标为),(),,(2211yxNyxM，由14122yxmyx消去x，得,032)4(22myym…………………………9分∴43,42221221myymmyy①212121212(1)(1)1()xxmymymyymyy4444342122222mmmmmmm②………………………10分由OMON，即0ONOM，得(*)02121yyxx将①②代入（*）式，得043444222mmm，解得21m…………………13分所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为：22yx或22yx…………………………………………………………………………………14分法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；……………………………7分当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点(1,0)F，设其方程为(1)ykx，与1C的交点坐标为),(),,(2211yxNyxM由2214(1)xyykx消掉y，得2222(14)84(1)0kxkxk，…………9分于是2122814kxxk，21224(1)14kxxk①212111212(1)(1)[()1]yykxkxkxxxx即2222122224(1)83(1)141414kkkyykkkk②………………………………11分由OMON，即0ONOM，得(*)02121yyxx将①、②代入（*）式，得2222224(1)340141414kkkkkk，解得2k；……13分所以存在直线l满足条件，且l的方程为：22yx或22yx．………14分20．解析：（1）设2)1(1)(xkxf，所以0gx，得到1k．所以k的取值范围为(1,)………2分（2）令11)(xkxexg，因为fx是1,上的增函数，且1e，所以gx是1,上的增函数。…………………………4分由条件得到312ln222)1(21kegk（两边取自然对数），猜测最大整数2k，现在证明2111xxex对任意0x恒成立。…………6分2111xxex等价于332ln1ln1211xxxx，………………8分设223132ln11111xhxxhxxxxx