北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学文

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（文科）2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合4,3,2,1A，5,4,3B，全集BAU，则集合BACU中的元素个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.“2a”是“直线03:21yxal与直线14:2xyl互相垂直”的（）3.在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（）A．94B．31C．21D．834.若函数()yfx是函数xy2的反函数，则)]2([ff的值为（）A．16B．0C．1D．25.下列结论正确的是()6.设m为直线，,,为三个不同的平面，下列命题正确的是（）①若,,//m则m②若,,m则//m③若,//,m则//m④若,,则//7.设斜率为k的直线l过抛物线xy82的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则实数k的值为().A．2B．4C．2D．4A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．,Rx使0122xx成立B．0x，都有2lg1lgxx成立C．函数2sinxy是偶函数D．02x时，函数xy1无最大值8.设函数142cos3sin323xxxxf，其中650，，则导数1f的取值范围是（）A．63，B．343，C．634，D．3434，第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。9.若双曲线11522yx的离心率为n，则n；设i为虚数单位，复数ni1的运算结果为.10.已知非零向量ba,满足：ba2，且bab，则向量a与向量b的夹角=.11.长方体1111DCBAABCD满足：12122CCBCAB,则其外接球的表面积为.12.如果点P在不等式组02202022yxyxyx所确定的平面区域内,O为坐标原点，那么PO的最小值为______.13.执行如图程序框图，若输出的y值为3，则输入的x值的集合是.14.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有nNnn,1个点，每个图形总的点数记为na，则6a=；201020095443329999aaaaaaaa=.三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc,A是锐角,且Babsin23.（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若7a，ABC的面积为310，求22cb的值.16.（本小题共13分）如图是正三棱柱111CBAABC，31AA，2AB,若N为棱AB中点.（Ⅰ）求证：//1AC平面1CNB；（Ⅱ）求四棱锥111AANBC的体积.17.（本小题共13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组14,13，第二组15,14……第五组18,17如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(I)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。(II)设nm,表示该班两个学生的百米测试成绩，已知18,1714,13,nm求事件“2nm”的概率。1314151617180.380.340.180.060.04秒频率/组距18.（本小题共13分）已知二次函数)(xg的图象经过坐标原点，且满足12)()1(xxgxg，设函数xxgmxfln]1)1([)(,其中m为常数且0m.(I)求函数)(xg的解析式；(II)当02m时，判断函数)(xf的单调性并且说明理由．19.（本小题共14分）已知椭圆E：22221(,0)xyabab的焦点坐标为1F（0,2），点M（2，2）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线l与椭圆E交于BA,两点，求线段AB中点P的轨迹方程；（Ⅲ）O为坐标原点，⊙O的任意一条切线与椭圆E有两个交点C，D且ODOC，求⊙O的半径．20.（本小题共14分）已知函数555)(xxf，m为正整数．（Ⅰ）求)0()1(ff和)1()(xfxf的值；（Ⅱ）若数列}{na的通项公式为)(mnfan（mn,,2,1），求数列}{na的前m项和mS；（Ⅲ）设数列}{nb满足：211b，nnnbbb21，设11111121nnbbbT，若（Ⅱ）中的mS满足对任意不小于3的正整数n，57774nmTS恒成立，试求m的最大值.北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（文）参考答案及评分标准2010.1一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的）题号12345678答案CADBCCBA二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上.题号91011121314答案4,432552313，，15,20092008三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（Ⅰ）∵Babsin23，∴由正弦定理知：BABsinsin2sin3,∵B是三角形内角，∴0sinB,从而有23sinA，∴A=o60或o120，∵A是锐角，∴A的度数=o60.…………………………………………………6分（Ⅱ）∵3sin213103cos27222bcbccb∴40bc，8922cb．………………13分16.（本题满分13分）证明：（Ⅰ）连结1BC和1CB交于O点，连ON．∵111CBAABC是正三棱柱，∴O为1BC的中点.又N为棱AB中点,∴在1ABC中,1//ACNO,又CNB1平面NO,1AC平面CNB1,∴1AC∥平面CNB1；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵11AANB是直角梯形，3,2,1111AABAAN，∴四边形11AANB面积为29，∵CN平面11AANB，∴四棱锥11AANBC的体积为233.………………13分17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）根据直方图可知成绩在16,14内的人数为：2838.05018.050人；……………………………………………………5分（Ⅱ）成绩在14,13的人数有：204.050人，设为a,b.成绩在18,17的人数有：306.050人，设为A,B,C.14,13,nm时有ab一种情况.18,17,nm时有AB,AC,BC三种情况.nm,分别在14,13和18,17时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况.基本事件总数为10，事件“2nm”由6个基本事件组成．所以53106)2(nmP.…………………………13分18．（本题满分13分）解:（Ⅰ）设cbxaxxg2)(，)(xg的图象经过坐标原点，所以c=0.∵12)()1(xxgxg∴12)1()1(22xbxaxxbxa即：1)2()2(22xbaxbaxbaax∴a=1,b=0,2)(xxg；……………………………………………………………6分(II)∵函数xmxmxxfln2)(2的定义域为),0(，∴xmxmxxmmxxf122122)(2'．令122)(2mxmxxk，12)21(2)(2mxmxk，∵02m，∴0122)(2mxmxxk在),0(上恒成立，即0)('xf在),0(上恒成立.∴当02m时,函数()fx在定义域),0(上单调递减.………………………13分19．（本题满分14分）解:（Ⅰ）∵椭圆E:22221xyab（a,b0）经过M（-2，2），一个焦点坐标为1F（0,2）,ABCaaAaBaCbbAbBbC∴2284ab，椭圆E的方程为22184xy；………………………………………5分（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（11,yx），B（22,yx），相交所得弦的中点),(yxP，∴②①14814822222121yxyx，①-②得，04))((8))((21212121yyyyxxxx，∴弦AB的斜率．)0(,28421212121yyxyyxxxxyyk，∵QPBA,,,四点共线，∴PQABkk，即)10(,12xyxyyx且，经检验（0，0），（1，0）符合条件，∴线段AB中点P的轨迹方程是0222xyx．……………………………10分（Ⅲ）当⊙O的切线斜率存在时，设⊙O的切线方程为ykxm，由22184xyykxm得222(12)4280kxkmxm,设),(),,(4433yxDyxC，则22432432182214kmxxkkmxx∵ODOC,∴04343yyxx，即2222228801212mmkkk,∴223880mk,即88322mk,∵直线ykxm为⊙O的一条切线,∴圆的半径21mrk,即222228381318mmrmk,经检验，当⊙O的切线斜率不存在时也成立．∴263r．……………………1４分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）515555)0()1(ff=1；)1()(xfxf=5555551xx=xxx55555555=1；……………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)11(1)1()(mkmkfmkf,即,11)()(kmkaa,mkmfmkf由m1m321maaaaaS,……………①得,aaaaaSm13m2m1mm…………②由①＋②,得,21)1(2mmamS∴45521)1()1(21)1(mfmSm．……………………………10分（Ⅲ）∵,211b)1b(bbbbnnn2n1n,∴对任意的0*,nbNn.∴,1b1b1)1b(b1b1nnnn1n即1nnnb1b11b1.∴111132211211)11()11()11(nnnnnbbbbbbbbbT.∵,bb,0bbbn1n2nn1n∴数列}b{n是单调递增数列.∴nT关于n递增.当3n,且Nn时,3TTn.∵256777)11621(1621,1621)143(43,43)121(21,214321bbbb∴.77725621243bTTn∴,577743TSm∴5.650m.而m为正整数，∴m的最大值为650.…………………………………………………………………1４分