北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学理

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（理科）2010.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合4,3,2,1A，5,4,3B，全集BAU，则集合BACU的元素个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.“2a”是“直线03:21yaxl与直线14:2xyl互相垂直”的（）3.下列结论正确的是()4.从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动.若此8人站在同一排，则不同的排法种数为（）A．215645CCB．88215645ACCC．315545CCD．88315545ACC5.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数2xy图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）6.设函数142cos3sin323xxxxf，其中650，，则导数1f的取值范围是（）A．63，B．343，C．634，D．3434，A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．,Rx使0122xx成立B．0x，都有2lg1lgxx成立C．函数22122yxx的最小值为2D．02x时，函数y1xx有最大值为23A．51B．41C．31D．2112题图7.如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，线段11BD上有一个点E，且11ED，则四棱锥DBEDA1的体积为()8.已知函数)(xf和2xf都是定义在R上的偶函数，当2,2x时，)(xgxf.则当24,24nnxnZ时，xf的解析式为（）A．)(xgB．)2(nxgC．)4(nxgD．)4(nxg第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。9.已知nx3的展开式中二项式系数之和为16，则n；设i为虚数单位，复数ni1的运算结果为.10.已知非零向量ba,满足：ba2，且bab，则向量a与向量b的夹角=___.11.如果点P在不等式组01202022yyxyx所确定的平面区域内,点Q在圆1)3(322yx上，那么|PQ|的最小值为________.12.执行如图程序框图，若输出的y值为11，则输入的x值为_________.A．22B．2C．24D．32413题图13.如图,已知ABC和BCD所在平面互相垂直，090BCDABC，aAB，bBC，cCD，且1222cba，则三棱锥BCDA的外接球的表面积为.14.用,,三个字母组成一个长度为1n*)(Nn个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同.例如1n时，排出的字符串可能是或；2n时排出的字符串可能是，，，(如图).若记这种1n个字符串中，排在最后一个的字母仍是的所有字符串的种数为na，可知，2,021aa；则4a___；数列na的前n2项之和naaaa2321.三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共13分）已知ABC三个内角,,ABC的对边分别为,,abc,Babsin23，且0ACAB.（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若23coscosBCA，6a，求ABC的面积.16.（本小题共13分）如图正三棱柱111CBAABC，21AA,2AB，若N为棱AB中点.（Ⅰ）求证：1AC∥平面CNB1；（Ⅱ）求11CA与平面CNB1所成的角正弦值.17.（本小题共13分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是185，求抽奖者获奖的概率；（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及,ED的值．18.（本小题共13分）已知二次函数)(xg的图像经过坐标原点，且满足12)()1(xxgxg，设函数)1ln()()(xxmgxf,其中m为非零常数(I)求函数)(xg的解析式；(II)当02m时，判断函数)(xf的单调性并且说明理由；(III)证明：对任意的正整数n,不等式23111ln(1)nnn恒成立．19.（本小题共14分）已知直线l：1kxy与圆C：1)3()2(22yx相交于BA,两点．（Ⅰ）求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若O为坐标原点，)(kS表示OAB的面积，13)]([)(22kkSkf，求)(kf的最大值.20.（本小题共14分）已知函数555)(xxf，m为正整数．（Ⅰ）求)0()1(ff和)1()(xfxf的值；（Ⅱ）若数列}{na的通项公式为)(mnfan（mn,,2,1），求数列}{na的前m项和mS；（Ⅲ）设数列}{nb满足：211b，nnnbbb21，设11111121nnbbbT，若（Ⅱ）中的mS满足对任意不小于3的正整数n，57774nmTS恒成立，试求m的最大值.北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测高三数学（理）参考答案及评分标准2010.1一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.题号12345678答案CADBCADC二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上.题号91011121314答案4,4321225,63142n三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵Babsin323，∴由正弦定理知：BABsinsin32sin3,∵B是三角形内角，∴0sinB,从而有23sinA，∵0ACAB，∴A=o60.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）将()BAC代入23coscosBCA得：23coscosCACA,利用两角和与差的余弦公式展开得：43sinsinCA；21sinC．相应的有：C=o30,∴ABC的面积为36.………………………………………………………………13分16.（本题满分13分）证明：（Ⅰ）连结1BC和1CB交于O点，连ON．∵111CBAABC是正三棱柱，∴O为1BC的中点.又N为棱AB中点,∴在1ABC中,1//ACNO,又CNB1平面NO,1AC平面CNB1,∴1AC∥平面CNB1；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系，∵0,0,0N，0,2,11B，3,0,0C，0,2,11A，)3,2,0(1C，∴3,0,0NC，0,2,11NB设平面CNB1的法向量为n),,(zyx，∴001nNBnNC，即0203yxz，令2y，得n)0,2,2(，∵),3,0,1(11CA∴66262,cos111111CAnCAnCAn，∴11CA与平面CNB1所成的角正弦值为66.………………………………………13分17.（本题满分13分）解：（I）设“世博会会徽”卡有n张，由185292CCn，得5n，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924CC；…………………………………6分（Ⅱ）～)61,4(B的分布列为)4,3,2,1,0()65()61()(44kCkPkkk；01234P4004)65()61(C3114)65()61(C2224)65()61(C1334)65()61(C0444)65()61(C∴32614E，95)611(614D．…………………………………………13分18.（本题满分13分）解：（Ⅰ）设cbxaxxg2)(，)(xg的图象经过坐标原点，所以c=0.∵12)()1(xxgxg∴12)1()1(22xbxaxxbxa即：1)2()2(22xbaxbaxbaax∴a=1,b=0,2)(xxg；…………………………………………………………………４分（Ⅱ）函数)1ln()(2xmxxf的定义域为1,．1122112)(2'xmxmxxmxxf，令122)(2mxmxxk，12)21(2)(2mxmxk，12)21()(maxmkxk，∵02m，∴012)(maxmxk，0122)(2mxmxxk在1,上恒成立，即0)('xf，当02m时,函数()fx在定义域1,上单调递减．………………９分（III）当1m时，2()ln(1).fxxx，令332()()ln(1),hxxfxxxx则32'3(1)()1xxhxx在0,上恒正，∴)(xh在0,上单调递增，当0,x时，恒有()(0)0hxh.，即当0,x时，有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx，对任意正整数n，取1xn得23111ln(1)nnn．…………………………………………１３分19.（本题满分1４分）解：（Ⅰ）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），∵MN与MC所在直线垂直，∴1231xyxy，（)20xx且，当0x时不符合题意，当2x时，3y符合题意，∴AB中点的轨迹方程为：034222yxyx，477477x.……………6分（Ⅱ）设),(),,(2211yxByxA，∵ONAONBOABSSS，且1ON，∴1221xxONSOAB将1kxy代入方程1)3()2(22yx得07)1(4)1(22xkxk,∵2211)1(4kkxx，22117kxx∴42122121224)(xxxxxxSOAB=222)1(121232kkk，∴13)()(22kkSkf=22)1(8kk，……………………………………………………………１0分∵由0)1()33)(33(24)('32kkkkf，∴33k，∵0得374374k,∴33k时，)(kf的最大值为233.………………………………………………………………１4分20.（本题满分1４分）解：（Ⅰ）515555)0()1(ff=1；)1()(xfxf=5555551xx=xxx55555555=1；………………………………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)11(1)1()(mkmkfmkf,即,11)()(kmkaa,mkmfmkf由m1m321maaaaaS,……………①得,aaaaaSm13m2m1mm………