北京市东城区2012届高三下学期综合模拟数学（文）试题

北京市东城区2011-2012学年第二学期综合模拟高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若a，bR，i是虚数单位，且(2)i1iba，则ab的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（2）若集合},0{2mA，}2,1{B，则“1m”是“}2,1,0{BA”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）若点(,)Pxy在不等式组,,2yxyxx表示的平面区域内，则2zxy的最大值为（A）0（B）2（C）4（D）6（4）已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等差数列，则xyz的值为（A）2（B）4（C）6（D）8（5）右图给出的是计算1001...81614121的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）50i（B）25i（C）50i（D）25i（6）已知2sin(45)10，且090，则cos的值为（A）513（B）1213（C）35（D）45（7）已知函数()()()fxxaxb(其中)ab的图象如右图所示，则函数()xgxab的图象大致为（A）（B）（C）（D）（8）设集合1[0,)2A，1[,1]2B，函数1,,()22(1),.xxAfxxxB若0xA，且0[()]ffxA，则0x的俯视图左视图主视图21122取值范围是（A）(41,0]（B）(21,41]（C）(21,41)（D）[0，83]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.(10)命题“000(0,),tansin2xxx”的否定是.(11)在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．(12)双曲线222xy的离心率为；若抛物线2yax的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a的值为.(13)已知△ABC中，ADBC于D，2ADBD，1CD，则ABAC___．(14)已知数列na，1am，mN，1,21,2nnnnnaaaaa为偶数,为奇数.若na中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有个．甲乙07954551844647193三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）若函数()ygx的图象是由()yfx的图象向右平移8个单位长度得到的，当x[0,4]时，求()ygx的最大值和最小值.（16）（本小题共13分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为21，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？O月排放量（百千克/户户）频率组距0.460.230.100.0712345图2O月排放量（百千克/户户）频率组距0.300.250.200.150.0512345图160.14PFEABCQFA1CPBE（17）（本小题共14分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使平面1AEF平面EFB，连结1AB，1AP.（如图2）（Ⅰ）若Q为1AB中点，求证：PQ∥平面1AEF；（Ⅱ）求证：1AEEP.图1图2（18）（本小题共13分）已知1x是函数()(2)exfxax的一个极值点．(aR)（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当1x，20,2x时，证明：12()()efxfx．（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点0,1，且离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）12,AA为椭圆C的左、右顶点，直线:22lx与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于12,AA的动点，直线12,APAP分别交直线l于,EF两点.证明：DEDF恒为定值.（20）(本小题共14分)对于函数()fx，若00()fxx，则称0x为()fx的“不动点”；若00()ffxx，则称0x为()fx的“稳定点”.函数()fx的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即()Axfxx,()Bxffxx.（Ⅰ）设函数()34fxx，求集合A和B；（Ⅱ）求证：AB；（Ⅲ）设函数2()(0)fxaxbxca，且A，求证：B.北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）A（3）D（4）C（5）B（6）D（7）A（8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）43（10）(0,),tansin2xxx（11）84乙（12）28（13）2（14）8注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为22()(sin2cos2)2sin2fxxxxsin4cos4xx2sin(4)4x,…………6分所以函数()fx的最小正周期为2.…………8分（Ⅱ）依题意,()ygx2sin[4()8x4]2sin(4)4x.…………10分因为04x，所以34444x.…………11分当442x，即316x时，()gx取最大值2；当444x，即0x时，()gx取最小值1.…………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为CBA,,，两个“低碳小区”为,,mn…………2分用),(yx表示选定的两个小区，,,,,,xyABCmn，DPFEACB则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)AB，(,)AC，(,)Am，(,)An,(,)BC,(,)Bm,(,)Bn,(,)Cm,(,)Cn，(,)mn.…………5分用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们是：(,)Am，(,)An,(,)Bm,(,)Bn，(,)Cm,(,)Cn.………7分故所求概率为63()105PD.…………8分（II）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”.…………10分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75，…………12分所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准.…………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）取1AE中点M，连结,QMMF．在△1ABE中，,QM分别为11,ABAE的中点，所以QM∥BE，且12QMBE．因为12CFCPFAPB，所以PF∥BE,且12PFBE，所以QM∥PF，且QMPF．所以四边形PQMF为平行四边形．所以PQ∥FM．…………5分又因为FM平面1AEF，且PQ平面1AEF，所以PQ∥平面1AEF．…………7分（Ⅱ）取BE中点D，连结DF.因为1AECF，1DE，所以2AFAD，而60A，即△ADF是正三角形.又因为1AEED,所以EFAD.所以在图2中有1AEEF.…………9分因为平面1AEF平面EFB，平面1AEF平面EFBEF，所以1AE⊥平面BEF.…………12分又EP平面BEF，所以1AE⊥EP.…………14分（18）（共13分）（Ⅰ）解：'()(2)exfxaxa，…………2分由已知得0)1('f，解得1a．…………4分当1a时，()(2)exfxx，在1x处取得极小值．所以1a.…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)exfxx，'()(1)exfxx.当1,0x时，0)1()('xexxf，)(xf在区间0,1单调递减；当1,2x时，'()(1)0xfxxe，)(xf在区间1,2单调递增.…………8分所以在区间0,2上，()fx的最小值为(1)ef，又(0)2f，(2)0f，所以在区间0,2上，()fx的最大值为(2)0f.…………12分对于12,0,2xx，有12maxmin()()()()fxfxfxfx．所以12()()0(e)efxfx.…………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意可知，1b，32ca，解得2a.…………4分所以椭圆的方程为2214xy.…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A，2(2,0)A.设00(,)Pxy，依题意022x，于是直线1AP的方程为00(2)2yyxx，令22x，则00(222)2yyx.即00(222)2yDEx.…………7分又直线2AP的方程为00(2)2yyxx，令22x，则00(222)2yyx，即00(222)2yDFx.…………9分所以22000022000044(222)(222)2244yyyyDEDFxxxx，………11分又00(,)Pxy在2214xy上，所以220014xy,即220044yx，代入上式，得2020414xDEDFx,所以||||DEDF为定值1.…………13分（20）（共14分）（Ⅰ）解：由()fxx，得34xx，解得2x；…………1分由()ffxx，得3(34)4xx，解得2x.…………3分所以集合2A，2B.…………4分（Ⅱ）证明：若A，则AB显然成立；若A,设t为A中任意一个元素，则有()ftt，所以()()fftftt，故tB，所以AB.…………8分（Ⅲ）证明：由A，得方程2axbxcx无实数解，则2(1)40bac.…………10分①当0a时，二次函数()yfxx（即2(1)yaxbxc）的图象在x轴的上方，所以任意xR，()0fxx恒成立，即对于任意xR，()fxx恒成立，对于实数()fx，则有()()ffxfx成立，所以对于任意xR，()()ffxfxx恒成立，则B.…………12分②当0a时，二次函数()yfxx（即2(1)yaxbxc）的图象在x轴的下方，所以任意xR，()0fxx恒成立，即对于任意xR，()fxx恒成立，对于实数()fx，则有()()ffxfx成立，所以对于任意xR，()()ffxfxx恒成立，则B.综上，对于函数2()(0)fxaxbxca，当A时，B.…………14分