搜索
课时提升作业二十二函数的单调性与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·重庆高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(-∞,1)C.(0,1)D.(1,+∞)【解析】选C.函数f(x)=x2-lnx的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-,令f′(x)0,即x-0,解得0x1.【补偿训练】函数f(x)=xlnx的单调递增区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.D.【解析】选D.因为f(x)=xlnx(x0),所以f′(x)=lnx+1,令f′(x)0,得lnx+10,即x,所以函数f(x)的单调递增区间是.2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是()A.y=sinxB.y=xe2C.y=x3-xD.y=lnx-x【解析】选B.对于A,y=sinx在(0,+∞)内有增有减,对于B,y′=(xe2)′=e20,故y=xe2在(0,+∞)内是增函数;对于C,y′=3x2-1=3,当x∈时,y′0;故y=x3-x在上是减函数,对于D,y′=-1=,当x∈(1,+∞)时,y′0,故y=lnx-x在(1,+∞)上是减函数.3.(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解析】选B.由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.4.若f(x)=,eab,则()A.f(a)f(b)B.f(a)=f(b)C.f(a)f(b)D.f(a)f(b)1【解题指南】先判断f(x)的单调性,再比较f(a)与f(b)的大小.【解析】选A.因为f′(x)==.当x∈(e,+∞)时,1-lnx0,所以f′(x)0,所以f(x)在(e,+∞)内为单调递减函数.故f(a)f(b).5.(2016·烟台高二检测)若a0,且f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是()A.0a3B.0a≤3C.a3D.a≥3【解析】选B.因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立.所以a≤3x2在[1,+∞)上恒成立.又g(x)=3x2在[1,+∞)上有最小值3,故0a≤3.【补偿训练】已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1]C.(-1,1)D.[-1,1)【解析】选D.f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),由f′(x)0得-2x2,由题意(2m,m+1)⊆(-2,2),所以解得-1≤m1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·中山高二检测)若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(1+x)的单调递减区间是.【解析】令f′(x)=x2-4x+30,得1x3,由11+x3,解得0x2,故函数f(1+x)的单调递减区间为(0,2).答案:(0,2)7.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,2),则b=,c=.【解析】f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1x2是不等式f′(x)0的解,即-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,因此b=-,c=-6.答案:--68.(2016·洛阳高二检测)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调递增函数,则b的取值范围为.【解析】若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,所以-1≤b≤2,由题意知y′≥0不恒成立,所以b-1或b2.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.【解析】f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=ex[x2+2(1-a)x-2a].令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-,x2=a-1+,其中x1x2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗因为a≥0,所以x1-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减.由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1,即a-1+≥1,解得a≥.故所求a的取值范围为.10.(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x)的单调区间.【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c.由在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f′(-1)=6.所以即解得b=c=-3.故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f′(x)=3x2-6x-3.令f′(x)0,得x1-或x1+;令f′(x)0,得1-x1+.故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x0时,有f′(x)0,g′(x)0,则当x0时,有()A.f′(x)0,g′(x)0B.f′(x)0,g′(x)0C.f′(x)0,g′(x)0D.f′(x)0,g′(x)0【解析】选B.由题知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,根据奇偶函数图象特点知,当x0时,f(x)的单调性与x0时相同,g(x)的单调性与x0时恰好相反.因此,当x0时,有f′(x)0,g′(x)0.2.(2016·南昌高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解析】选D.因为[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),所以当x0时,[f(x)g(x)]′0,所以f(x)·g(x)在(-∞,0)上是增函数,又g(-3)=0,所以f(-3)g(-3)=0.所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)g(x)0;当x∈(-3,0)时,f(x)g(x)0.又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)在R上是奇函数,其图象关于原点对称.所以当x∈(0,3)时,f(x)g(x)0.综上,选D.【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf′(x)-f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选A.记函数g(x)=,则g′(x)=,因为当x0时,xf′(x)-f(x)0,故当x0时,g′(x)0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0x1时,g(x)0,则f(x)0;当x-1时,g(x)0,则f(x)0,综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数k的取值范围是.【解析】显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),y′=4x-=.由y′0,得函数f(x)的单调递增区间为;由y′0,得函数f(x)的单调递减区间为,由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以解得1≤k.答案:4.(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是.【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)ex,由题意得f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.答案:[1,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)5.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围.【解析】方法一:f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.因为f(x)在(1,4)内为减函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.所以实数a的取值范围为[5,7].方法二:f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内为减函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.所以即解得5≤a≤7.所以实数a的取值范围为[5,7].6.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)f(x)=(-x2+x-1)ex,因为f′(x)=-x(x+1)ex,令f′(x)0,得x-1或x0,f′(x)0得-1x0.所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).