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课时提升作业二十四函数的最大(小)值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y′=0,得x=2或x=-1(舍).因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以ymax=5,ymin=-15.【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为()A.2B.e2C.D.e【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)0,所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选D.因为2x(x-a)1,所以ax-.令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-xln20.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是()A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f′(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a0,所以a=1,所以f′(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在[-2,2]上的最小值.【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在[-2,0]上为增函数,在[0,2]上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5分,共15分)6.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的值域为.【解析】f′(x)==,令f′(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)当x∈[-1,0)时,f′(x)0;当x∈(0,1]时,f′(x)0,所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;而f(-1)=e,f(1)=,所以f(x)的最大值为f(-1)=e.所以f(x)的值域为[0,e].答案:[0,e]7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是,最小值是.【解析】因为f′(x)==,令f′(x)=0,得x=1或x=-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-2.答案:2-28.若函数f(x)=(a0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为.【解析】f′(x)==,当x时,f′(x)0,f(x)单调递减;当-x时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)==,解得=1,不合题意,所以f(x)max=f(1)==,所以a=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·宁波高二检测)设函数f(x)=exsinx.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f′(x)=ex(sinx+cosx)=exsin.f′(x)≥0,所以sin≥0,所以2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)由(1)知当x∈[0,π]时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f(π)=0,f=,所以f(x)max=f=,f(x)min=f(0)=f(π)=0.10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a0,则当x∈时,f′(x)0;x∈时,f′(x)0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等价于lna+a-10,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)0;当a1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1B.C.D.【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.【补偿训练】函数f(x)=ex(sinx+cosx),x∈[0,1]的值域为.【解析】当0≤x≤1时,f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为.答案:2.(2016·武汉高二检测)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]【解析】选C.当x=0时,3≥0恒成立,a∈R.当0x≤1时,a≥.设h(x)=,则h′(x)==.因为x∈(0,1],所以h′(x)0,h(x)递增,所以h(x)max=h(1)=-6,所以a≥-6.当-2≤x0时,a≤.易知h(x)=在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.所以h(x)min=h(-1)=-2,所以a≤-2.综上,-6≤a≤-2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·沈阳高三模拟)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.【解题指南】先求f′(x),判断f(x)的单调性,根据函数的单调性得到函数的最值.本题只要使f(x)的最小值不大于零即可.【解析】f′(x)=ex-2.由f′(x)0得ex-20,所以xln2.由f′(x)0得xln2,所以f(x)在x=ln2处取得最小值.只要f(x)min≤0即可,所以eln2-2ln2+a≤0,所以a≤2ln2-2.答案:(-∞,2ln2-2]4.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=4+2f′(2),所以f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.又因为在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以[0,4]⊆[0,m],且f(m)≤f(0)=15,所以4≤m≤8.答案:[4,8]三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.(1)求方程f(x)=2的根.(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2⇒=0⇒2x=1⇒x=0.(2)由题意得22x+≥m-6恒成立,令t=2x+,则由2x0可得t≥2=2,此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤=t+恒成立,因为t≥2时t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a1.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若当x≥0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a1知,2a2,当x2时,f′(x)0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;当2x2a时,f′(x)0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x2a时,f′(x)0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.综上,当a1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.由假设知即解得1a6.故a的取值范围是(1,6).