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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十三双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1【解析】选C.由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A,B,C项的渐近线方程为y=±2x.2.(2016·合肥高二检测)点P为双曲线C1:-=1(a0,b0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为()A.B.1+C.+1D.2【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由e==,能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.e====+1.【补偿训练】双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为()A.2B.C.D.【解析】选C.依题意·=-1,所以a2=b2.则e2===2,所以e=.3.(2016·宁波高二检测)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),把(-3,2)代入方程得-=λ,所以λ=.故双曲线方程为-=,即-=1.4.设a1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是()A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)【解析】选B.e2==++2=+1,因为a1,所以01,1+12,所以2e25.又e1,所以e.5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为()A.-4B.-C.1D.0【解题指南】根据题意,设P(x,y)(x≥1),根据双曲线的方程,易得A1,F2的坐标,将其代入·中,可得关于x,y的关系式,结合双曲线的方程,可得·的二次函数,由x的范围,可得答案.【解析】选A.根据题意双曲线x2-=1,设P(x,y)(x≥1),易得A1(-1,0),F2(3,0),·=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x2-2x-3+y2,又x2-=1,故y2=8(x2-1),于是·=9x2-2x-11=9-.当x=1时,取到最小值-4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程-=1,可得-=1,所以e2-1=,又e1,所以可求得e=2.答案:27.(2016·菏泽高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=.【解析】因为以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,所以△OF1A是等边三角形,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,所以e===+1,因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,所以k=2.答案:28.(2016·厦门高二检测)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.【解析】设椭圆C1的方程为+=1(a1b10),由已知得所以所以焦距为2c1=10.又因为810,所以曲线C2是双曲线.设其方程为-=1(a20,b20),则a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,所以曲线C2的方程为-=1.答案:-=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为+=1,所以椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),所以解得.所以双曲线的标准方程为-=1.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′0,b′0),所以解得所以双曲线的标准方程为-=1.由①②可知,双曲线的标准方程为-=1或-=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求此双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:·=0.【解析】(1)因为离心率e==,所以a=b.设双曲线方程为x2-y2=n(n≠0),因为点(4,-)在双曲线上,所以n=42-(-)2=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)因为点M(3,m)在双曲线上,故m2=3.又点F1(-2,0),点F2(2,0),所以·=·=-=-1.所以·=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3【解析】选B.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9--4=0,则=0,解得=,则双曲线的离心率e==.2.(2016·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.4x±3y=0C.3x±5y=0D.5x±4y=0【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由cos∠PF1F2=,求出的值.【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,因为|F1F2|=|PF2|,所以点Q为PF1的中点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,即=,得3c=5a,所以3=5a,得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·深圳高二检测)已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=x,其中{an}是以4为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是.【解析】双曲线即:-=1.因为{an}是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=x,所以=,=2,所以an=4·2n-1=2n+1.答案:an=2n+14.(2016·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为.【解析】由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除以a2,化简得-3·-4=0,解得=4或=-1(舍去),故离心率e=====.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.双曲线-=1(a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】设直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得点(1,0)到直线l的距离d1=,点(-1,0)到直线l的距离d2=.所以s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.因为e=,所以5≥2e2,所以25(e2-1)≥4e4,即4e4-25e2+25≤0,所以≤e2≤5(e1).所以≤e≤,即e的取值范围为.6.(2016·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0),则其渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,所以a2=,b2=80,所以所求双曲线方程为-=1.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′0,b′0),则渐近线方程为y=±x,即=3,则双曲线方程可化为-=1,因为双曲线过点P(3,-1),所以-=1,得-=1,无解.综上可知所求双曲线方程为-=1.【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.所以所求双曲线方程为-=1.关闭Word文档返回原板块