2018版高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修1_1

专题04直击轨迹方程问题一、选择题1．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为0,0O，1,0A，1,1B，0,1C，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是（）.A.101yxxxB.101xyyyC.201yxxD.2101yxx【答案】A点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程2．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点3,0A，3,0B，动点P满足2PAPB，则点P的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】B【解析】点P的坐标为,xy，则2222323xyxy，化简可得22516xy，所以点P的轨迹为圆，选B．3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是()A.(x－1)2＋y2＝4B.(x－1)2＋y2＝2C.y2＝2xD.y2＝－2x【答案】B【解析】设圆(x－1)2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，选B.点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．4．【四川省达州市高级中学高2015级零诊】若方程C：221yxa（a是常数）则下列结论正确的是（）A.aR，方程C表示椭圆B.aR，方程C表示双曲线C.aR，方程C表示椭圆D.aR，方程C表示抛物线【答案】B∵不论a取何值，方程C：221yxa中没有一次项aR，方程C不能表示抛物线，故D项不正确综上所述，可得B为正确答案故选B5．【江西师大附中2017-2018学年上学期高二10月月考】动圆M与圆221:11Cxy外切，与圆222:125Cxy内切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.22189xyB.22198xyC.2219xyD.2219yx【答案】B点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．二、解答题6．【2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0，13）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy（2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）直线l的方程可设为13ykx，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得AQBQ，即0AQBQ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．（2）直线l的方程可设为13ykx，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立2213{12ykxxy可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．则1x+2x=24312kk，1x2x=216912k，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则AQBQ，即0AQBQ．∵11,AQxmy，22,BQxmy∴AQBQ=1x2x+1my2my=1x2x+121133mkxmkx221212222222222121133911216121339912912181896150912kxxkmxxmmkmkmmkkmkmmk∴2218180{96150mmm，解得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.7．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】设点,AB的坐标分别为5,0,5,0，直线,AMBM相交于点M，且它们的斜率之积20525bb.（1）求点M的轨迹方程；（2）在点M的轨迹上有一点P且点P在x轴的上方，120APB，求b的范围.【答案】（1）2221525xyxb；（2）5303b.【解析】试题分析：（1）设点M的坐标为,xy，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于20525bb建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点P的坐标为00,xy，利用斜率公式及夹角公式，可得00,xy的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出b的范围.方法一：设点P的坐标为00,xy，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，000055tan,tanxxAPHBPHyy00000200020005510+tan120552511xxyyyxxxyyy因为点P的坐标为00,xy在点M的轨迹上，所以220021525xyxb得202202525xyb02103251yb，20210325byb因为00yb，22100325bbb，2102503bb.所以解得5303b.得220022525xyb，代入（1）得2002251013yyb20210325byb.因为00yb，22100325bbb，2102503bb.所以解得5303b.代入（1）得22210sin25cossin253bb，22210sinsin25sin3bb，210253sinbb，10sin1,1sin，22101025,25033bbbb.所以解得5303b.方法四：设点P的坐标为00,xy，点,AB的坐标分别为5,0,5,0直线AP的斜率0055APykxx，直线BP的斜率0055BPykxx由120APB得0000000055tan120155yyxxyyxx所以020210253251yxb（1）直线AP的斜率0055APykxx，直线BP的斜率0055BPykxx由120APB得31BMAMBMAMkkkk23125BMAMkkb23125AMBMbkk0,0,0AMBMBMkkk23125AMBMAMBMbkkkk223122525bb2312255bb2102503bb.所以解得5303b.点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,abc的方程，求出22,ab即可，注意222,cabcea的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,xxxx，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．8．【北京昌平一中2016-2017学年高二上学期期中】已知点A的坐标为2,0，圆C的方程为224xy，动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上一点，且APPM．（1）求点M的轨迹方程．（2）过点3,4Q作圆C的两条切线QE，QF，分别与圆C相切于点E，F，求直线EF的方程，并判断直线EF与点M所在曲线的位置关系．【答案】（1）22216xy（2）:3440EFxy，相交试题解析：（1）设,Mxy，点A的坐标为2,0，动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上一点，且APPM，则点P为A，M的中点，所以得2,22xyP代入圆C的方程22224216xyxy，得．（2）过点3,4Q作圆C的两条切线QE，QF，分别与圆C相切于点E，F，则,QEECQFFC，则QEQF，设圆D以Q为圆心，以QE为半径，5OQ，∴2||421QEOQ，∴22:3421Dxy．则EF为圆D与圆C的公共弦，联立C，D，作差得直线EF方程∴:3440EFxy，2223424534d，∴相交．点睛：本题主要考查了直线与圆的方程的应用，第一问求轨迹的方程是相关点法，设所求点的坐标为,xy，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，此外还有定义法，直接法，参数法.9．【云南省德宏州芒市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知圆C：222410,xyxyo为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线l的方程；求满足条件|PM||PO|的点P的轨迹方程.【答案】(1)1x或34150xy；（2）2410xy【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.（2）设,Pxy,则22222|||124PMPCMCxy，222||POxy，由|PM||PO|得：2222124xyxy，化简得：2410xy点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于,xy的关系，化简即可求出轨迹方程.10．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】两点，，曲线上的动点满足．（Ⅰ）求曲线的方程．（Ⅱ）曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在和【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义判断并确定基本量，写出其标准方程（2）设点坐标，利用向量数量积得点坐标关系式，再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标（Ⅱ）假设存在点，∵，，∴，，∴．∴，，∴存在和，满足条件．11．【云南省昆明一中2018届高三一模】已知动点