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第三章3.13.1.1A级基础巩固一、选择题1．全集I＝{复数}，集合M＝{有理数}，N＝{虚数}，则(∁IM)∩(∁IN)＝导学号18674308(D)A．{复数}B．{实数}C．{有理数}D．{无理数}[解析]∁IM＝{无理数、虚数}，∁IN＝{实数}，∴(∁IM)∩(∁IN)＝{无理数}．2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为导学号18674309(D)A．－2B．23C．－23D．2[解析]由题意得2＋(－b)＝0，∴b＝2.3．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是导学号18674310(A)A．2－2iB．2＋iC．－5＋5iD．5＋5i[解析]复数2i－5的虚部为2，复数5i＋2i2＝－2＋5i，∴其实部为－2，故选A．4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为导学号18674311(D)A．0或－1B．0C．1D．－1[解析]∵z为纯虚数，∴m2＋m＝0m≠0，∴m＝－1，故选D．5．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为导学号18674312(A)A．x＝0且y＝3B．x＝0且y＝－3C．x＝5且y＝3D．x＝3且y＝0[解析]依题意得x＝0－3＝8x－y，解得x＝0y＝3，故选A．6．复数z＝a2＋b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是导学号18674313(D)A．|a|＝|b|B．a0且a＝－bC．a0且a≠bD．a≤0[解析]复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.二、填空题7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝14，y＝__1__.导学号18674314[解析]由复数相等可知x－1＝－3xy＝1，∴x＝14y＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i2,5i＋4，2i，其中为实数的是2＋3，0.618，i2.导学号18674315[解析]2＋3，0.618，i2为实数，5i＋4，2i为虚数．三、解答题9．已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：导学号18674316(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析]按复数a＋bi(a、b∈R)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解．[解析](1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0①且a2－7a＋6a2－1有意义②解①得a＝－1且a＝6，解②得a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0③且a2－7a＋6a2－1有意义④解③得a≠－1且a≠6，解④得a≠±1，∴a≠±1且a≠6，∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a使z为纯虚数．B级素养提升一、选择题1．(1＋3)i的实部与虚部分别是导学号18674317(C)A．1，3B．1＋3，0C．0,1＋3D．0，(1＋3)i[解析](1＋3)i可看作0＋(1＋3)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋3.2．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为导学号18674318(B)A．－1B．4C．－1或4D．不存在[解析]由条件知，m2－3m－4＝0m2－5m－6≠0，∴m＝－1或4m≠－1或m≠6，∴m＝4.3．若a、b∈R,且ab，那么导学号18674319(D)A．aibiB．a＋ib＋iC．ai2bi2D．bi2ai2[解析]∵i2＝－1，ab，∴ai2bi2，故选D．4．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为导学号18674320(C)A．1B．1或－4C．－4D．0或－4[解析]由题意得4－3a＝a2－a2＝4a，解得a＝－4.二、填空题5．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i0，则实数m的值等于__－3__.导学号18674321[解析]∵z0，∴m2－9＝0m＋10，∴m＝－3.6．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z0，则m＝__－1__.导学号18674322[解析]∵z0，∴m2－1＝0，m0，∴m＝－1.三、解答题7．若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.导学号18674323[解析]由题意，得m2－3m＝0m2－4m＋3＝0m210，∴m＝0或m＝3m＝3或m＝1|m|10，∴当m＝3时，原不等式成立．C级能力提高1．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为__2__.导学号18674324[解析](1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以1＋b＝a，1－b＝0.解得b＝1，a＝2.所以ab＝2.2．设z＝log12(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).导学号18674325(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．[解析]分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解．(1)若z是虚数，则其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是m－105－m05－m≠1，解得1m5，且m≠4.(2)若z是纯虚数，则其实部log12(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是m－1＝15－m05－m≠1，解得m＝2.