四川省成都市“五校联考”2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

成都市“五校联考”高2015级第三学期期中试题数学（理科）（全卷满分：90分完成时间：100分钟）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是()A.(1,1,1)B.(1,0,1)C.(1,0,0)D.(1,1,0)2．双曲线22149xy的渐近线方程是()(A)23yx(B)49yx(C)32yx(D)94yx3.与直线l：3x－5y＋4＝0关于原点对称的直线的方程为()A.3x＋5y＋4＝0B.3x－5y－4＝0C.5x－3y＋4＝0D.5x＋3y＋4＝04．设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为()A．3，－11B．－3，－11C．11，－3D．11,35.设点2,3,3,2AB,若直线20axy与线段AB没有交点．．．．，则a的取值范围是（）A．54,,23B．54,23C．45,32D．45,,326．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，点N(2,0)，设A为圆上任一点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线7．如果椭圆193622yx的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．02yxB．042yxC．23140xyD．082yx8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－349．点A是抛物线21:20Cypxp与双曲线22222:10,0xyCabab的一条渐近线的交点.若点A到抛物线1C的准线的距离为p，则双曲线2C的离心率等于（）A．2B．3C．5D．610．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线191622yx与椭圆1244922yx有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若)(21OBOAOP则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．3716B．3C．115D．212．已知圆C的方程2211xy，P是椭圆22143xy上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则PAPB的取值范围为（）A.]956,322[B.），956[C.]322-，（D.),956[]322-，（第II卷（非选择题,共100分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则x=．14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．15．已知直线l经过点P，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．16．已知)2,1(A,)2,1(B,动点满足BPAP,若双曲线)0,0(12222babyax的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．(Ⅰ)若l1⊥l2，求m的值．(Ⅱ)若l1∥l2,且他们的距离为5，求m，n的值．18.（本小题满分12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x,y表示搭载新产品A,B的件数.总收益用Z表示(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益.19.（本小题满分12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y-2=0相切于点P（1，1）（Ⅰ）求圆的方程；（II）直线kx-y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量OBOAOM(O为坐标原点)，求实数k．20.（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；（II）已知A（1,-2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于55？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知椭圆E:)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，22e离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直线0xym与椭圆E交于不同的两点,AB，且线段AB的中点不在圆2259xy内，求m的取值范围．22.（本小题满分12分）每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060y200x201010如图，O为坐标原点，椭圆C1：)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：12222byax的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=23，且|F2F4|=3﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．成都市”五校联考”高2015级第三学期期中试题数学(理科)答案一、选择题1.A2.C3.B4.A5.C6.B7.D8.D9.C10.B11.D12.A二、填空题13.314.（2，3）15.x＋4＝0或4x＋3y＋25＝016.1,2三、解答题17.解：1212124mllkkkk设直线、的斜率分别为、，则-2、.1212(1)122mllkkm若，则，.……………………5分12(2)84mllm若，则2，.2204nlxy可以化简为,122455nll与的距离为,2812n或..……………………10分18.解析：(Ⅰ)解：由已知yx,满足的数学关系式为001105103003020yxyxyx，且,xNyN，，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.……………………6分（Ⅱ）解：设最大收益为z万元，则目标函数8060zxy.作出直线:430alxy并平移，由图象知，当直线经过M点时，z能取到最大值，由2330222xyxy解得94xy且满足,xNyN，即(9,4)M是最优解，所以max809604960z（万元），答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．……………………12分19.解：（1）设圆的方程为222)4()(rayax因为直线相切，圆心到直线的距离raad2|24|，且圆心与切点连线与直线l垂直1)1(114aa可得a=0，r=，所以圆的方程为：…………………6分(2)直线与圆联立：20322yxykx，得：076)1(22kxxk，Δ=02882k,解得27k27或k.设A()B()，22122117,16kxxkkxx,22116kyyM()代入圆方程：2)()(221221yyxx，求得k=……………………………………12分20.解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为1x.………………5分（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=－2x+t，（OA的方程为：y=-2x）由xytxy422，得y2＋2y－2t=0.………………7分因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8t，解得t≥－1/2.………………8分另一方面，由直线OA与l的距离d=55，可得515||t，解得t=±1.………………10分因为－1∉[-21,＋∞），1∈[－21，＋∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.………………12分21.解：（Ⅰ）由题可知222ceaca，又a2=b2+c2，12max1()212pFFscb∴1c，故2,1ab------3分所以椭圆的标准方程为2212xy----------4分22.解：(1)因为e1e2＝32，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，即a4－b4＝34a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(3b，0)，于是3b－b＝|F2F4|＝3－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为x22＋y2＝1，x22－y2＝1…………5分(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由x＝my－1，x22＋y2＝1得(m2＋2)y2－2my－1＝0.…………6分易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－4m2＋2，于是AB的中点为M－2m2＋2，mm2＋2，故直线PQ的斜率为－m2，PQ的方程为y＝－m2x，即mx＋2y＝0.…………8分由y＝－m2x，x22－y2＝1得(2－m2)x2＝4，所以2－m20，且x2＝42－m2，y2＝m22－m2，从而|PQ|＝2x2＋y2＝2m2＋42－m2.…………9分设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|m2＋4.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝（m2＋2）|y1－y2|m2＋4.又因为|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝22·1＋m2m2＋2，所以2d＝22·1＋m2m2＋4.故四边形APBQ的面积S＝12|PQ|·2d＝22·1＋m22－m2＝22·－1＋32－m2.……10分而02－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2…………12分