2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用课下能力提升（三） Word版含解析

课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1数(式)中的归纳推理1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－22．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2014到2016的箭头方向依次为()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓3．根据给出的等式猜测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．11111134．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.题组2图形中的归纳推理5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－37．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？题组3类比推理8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×99．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比S△AECS△BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB交于E，则类比的结论为________．10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．[能力提升综合练]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72016的末两位数字为()A．01B．43C．07D．492．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．13784．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．5．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则在表中数字2016出现在第________行，第________列．6．已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明．7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列第几项？答案[学业水平达标练]1．解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.2．解析：选B观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2014到2016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.3．解析：选B由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1111111.4．解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝x2n－1x＋2n.答案：x2n－1x＋2n5．解析：选A由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．解析：选A∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.7．解：设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．f(1)＝1＝12，g(1)＝2；f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝2＋2；f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝2＋2＋3；f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝2＋2＋3＋4；猜想：f(n)＝n2，g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋nn2＝n2＋n＋22.即圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为n2条线段，将圆最多分割为n2＋n＋22部分．8．解析：选D等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.9．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S△AECS△BEC类比成VA­CDEVB­CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故ACBC类比成S△ACDS△BDC.故有VA­CDEVB­CDE＝S△ACDS△BDC.答案：VA­CDEVB­CDE＝S△ACDS△BDC10．解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝ac2＋bc2＝a2＋b2c2＝c2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ml2＋nl2＋gl2＝m2＋n2＋g2l2＝l2l2＝1.[能力提升综合练]1．解析：选A因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2016＝4×504，所以72016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01.2．解析：选C由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．3．解析：选C记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.4．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．答案：T8T4T12T85．解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，∴2016在第45行．又2025－2016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2016在第89－9＝80列．答案：45806．解：类似的性质为：若M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知的双曲线上，所以m2a2－n2b2＝1，得n2＝b2a2m2－b2.同理，y2＝b2a2x2－b2，则y2－n2＝b2a2(x2－m2)．所以kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．7．解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．