2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用课下能力提升（五） Word版含解析

课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1综合法的应用1．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值是()A．13B．12C．11D．103．在锐角△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，求证：△ABC是等边三角形．题组2分析法的应用4.3a－3b3a－b成立的充要条件是()A．ab(b－a)0B．ab0且abC．ab0且abD．ab(b－a)05．将下面用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤补充完整：要证a2＋b22≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．6．已知a≥－12，b≥－12，a＋b＝1，求证：2a＋1＋2b＋1≤22.题组3综合法与分析法的综合应用7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.8．已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[能力提升综合练]1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)2．已知a＞0，b＞0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为()A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．不能确定3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝3a－4a＋1，则a的取值范围是()A．a＜34B．a＜34，且a≠－1C．a＞34或a＜－1D．－1＜a＜344．已知a，b，c，d为正实数，且ab＜cd，则()A.ab＜a＋cb＋d＜cdB.a＋cb＋d＜ab＜cdC.ab＜cd＜a＋cb＋dD．以上均可能5．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log2xy＝________.6．已知sinθ＋cosθ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝________.7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求a2的值；(2)证明数列ann是等差数列；(3)若Tn是数列1an的前n项和，求证：Tn＜74.8．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：fx＋12为偶函数．答案[学业水平达标练]1．解析：选C由sinAsinB＜cosAcosB得cosAcosB－sinAsinB＞0，即cos(A＋B)＞0，－cosC＞0，cosC＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．2．解析：选B由a＜3＋8－1得a＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68.因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.3．证明：∵△ABC为锐角三角形，∴A，B，C∈0，π2，由正弦定理及条件，可得3sinB＝23sinAsinB.∵B∈0，π2，∴sinB≠0.∴3＝23sinA．∴sinA＝32.∵A∈0，π2，∴A＝π3.又cosB＝cosC，且B，C∈0，π2.∴B＝C.又B＋C＝2π3，∴A＝B＝C＝π3.从而△ABC是等边三角形．4.解析：选D3a－3b3a－b，⇔(3a－3b)3(3a－b)3，⇔a－b－33a2b＋33ab2a－b，⇔3ab23a2b，⇔ab2a2b，⇔ab(b－a)0.5．解析：用分析法证明a2＋b22≥ab的步骤为：要证a2＋b22≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥06．证明：要证2a＋1＋2b＋1≤22，只需证2(a＋b)＋2＋22a＋1·2b＋1≤8.因为a＋b＝1，即证2a＋1·2b＋1≤2.因为a≥－12，b≥－12，所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，所以2a＋1·2b＋1≤2a＋1＋2b＋12＝2a＋b＋12＝2.即2a＋1·2b＋1≤2成立，因此原不等式成立．7．证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．即需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二：a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．所以a3＋b3＞a2b＋ab2.8．证明：法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立．所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得ca＋b＋ab＋c＝1，所以ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[能力提升综合练]1．解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝1x′＝－1x2＜0，∴f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减函数．2．解析：选A由a＞0，b＞0，得ab＞0，所以a＋b＋2ab＞a＋b，所以(a＋b)2＞(a＋b)2，所以a＋b2＞a＋b2，所以lga＋b2＞lga＋b2，即m＞n，故选A.3．解析：选D∵f(x)以3为周期，∴f(2)＝f(－1)．又f(x)是R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)．再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1，即3a－4a＋1＜－1，解得－1＜a＜34.4．解析：选A先取特殊值检验，∵ab＜cd，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足ab＜a＋cb＋d＜cd.要证ab＜a＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)＜b(a＋c)，即证ad＜bc.只需证ab＜cd.而ab＜cd成立，∴ab＜a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d＜cd.故A正确．5．解析：由条件知lgxy＝lg(x－2y)2，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即xy2－5xy＋4＝0，所以xy＝4或xy＝1.又x＞2y，故xy＝4，所以log2xy＝log24＝4.答案：46．解析：因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋sin2θ＝125，所以sin2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－725.答案：－7257．解：(1)当n＝1时，2S11＝2a1＝a2－13－1－23＝2，解得a2＝4.(2)证明：2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n.①当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)．②①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即an＋1n＋1＝ann＋1，an＋1n＋1－ann＝1，当n＝1时，a22－a11＝2－1＝1.所以数列ann是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知ann＝n，即an＝n2.∵1an＝1n2＜1nn－1＝1n－1－1n(n≥2)，∴Tn＝1a1＋1a2＋…＋1an＝112＋122＋132＋…＋1n2＜1＋14＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋14＋12－1n＝74－1n＜74.8．证明：要证fx＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，即只需证－b2a－12＝0，只需证a＝－b(中间结果)，由已知，抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－b2a－1与抛物线f(x)的对称轴x＝－b2a关于y轴对称．所以－b2a－1＝－－b2a.于是得a＝－b(中间结果)．所以fx＋12为偶函数．