2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：阶段质量检测（二） Word版含解析

阶段质量检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－103．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．1996．已知c1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A．abB．abC．a＝bD．a、b大小不定7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋28．已知an＝13n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)等于()A.1367B.1368C.13111D.131129．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于()A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)B．fnn＋12C.nn＋12D.nn＋12f(1)10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()A．Sn＝n2B．Sn＝n3C．Sn＝n4D．Sn＝n(n＋1)11．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8＞b5＋b7B．b4＋b8＜b5＋b7C．b4＋b7＞b5＋b8D．b4＋b7＜b5＋b812．数列{an}满足a1＝12，an＋1＝1－1an，则a2016等于()A.12B．－1C．2D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x，y∈R，且x＋y2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________．15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤fx1＋x2＋…＋xnn，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．16．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n2)个图形中共有________个顶点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－aca＜3.18．(本小题12分)已知实数x，且有a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．(本小题12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角．21．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝an2n(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列．22．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1；32－22＝2×2＋1；42－32＝2×3＋1；…(n＋1)2－n2＝2n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．答案1．解析：选B可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.2．解析：选B由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n－1)＋n＝10n－9.3．解析：选A由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．4．解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．解析：选C记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47;f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.6．解析：选B要比较a与b的大小，由于c1，所以a0，b0，故只需比较1a与1b的大小即可，而1a＝1c＋1－c＝c＋1＋c，1b＝1c－c－1＝c＋c－1，显然1a1b，从而必有ab.7．解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.8．解析：选D该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝13112.故选D.9．解析：选Cf(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)⋮f(n)＝nf(1)，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝nn＋12f(1)．所以A，D正确．又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝fnn＋12，所以B也正确．故选C.10．解析：选B∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.11．解析：选Ab5＋b7－b4－b8＝b4(q＋q3－1－q4)＝b4(q－1)(1－q3)＝－b4(q－1)2(1＋q＋q2)＝－b4(q－1)2q＋122＋34.∵bn＞0，q＞1，∴－b4(q－1)2·q＋122＋34＜0，∴b4＋b8＞b5＋b7.12．解析：选C∵a1＝12，an＋1＝1－1an，∴a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，a5＝1－1a4＝－1，a6＝1－1a5＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，∴a2016＝a3＋3×671＝a3＝2.13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝115．解析：因为f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sinA＋sinB＋sinC)≤sinA＋B＋C3(结论)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332.因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是332.答案：33216．解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.答案：n2＋n17．证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0.要证明原不等式成立，只需证明b2－ac＜3a，即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，即(a－c)(2a＋c)＞0，因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，故原不等式成立．18．证明：假设a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则a＋b＋c＜3.∵a＋b＋c＝x2＋12＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋72＝2x－122＋3，且x为实数，∴2x－122＋3≥3，即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c＜3矛盾．∴假设不成立，原命题成立．∴a，b，c中至少有一个不小于1.19．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°－2α2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.20．解：(1)ba＜c