2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.3 Word版含解

第三章3.33.3.3A级基础巩固一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号03624868(A)A．12；－8B．1；－8C．12；－15D．5；－16[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|1)导学号03624869(D)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)0，即函数在(－1,1)上是单调递减的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号03624870(B)A．18B．2C．0D．－18[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x－1时，f′(x)0，－1x1时，f′(x)0,1x≤3时，f′(x)0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号03624871(D)A．2B．4C．18D．20[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a,f(1)＝－2－a,f(3)＝18－a，∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列说法正确的是导学号03624872(D)A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值[解析]根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．6．函数f(x)＝lnx－x在区间[0，e]上的最大值为导学号03624873(A)A．－1B．1－eC．－eD．0[解析]f′(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)0，得0x1，令f′(x)0，得1xe，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空题7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝x2ex的值域是__[0，e]__.导学号03624874[解析]f′(x)＝2x·ex－x2·exex2＝2x－x2ex，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e,f(0)＝0,f(1)＝1e，∴f(x)max＝e,f(x)min＝0，故函数f(x)的值域为[0，e]．8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－3≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__.导学号03624875[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－3)＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答题9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值.导学号03624876(1)求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．[解析](1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a，由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴a＝3.经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)0，得3x4或0x1，令f′(x)0，得1x3.∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝0.又f(0)＝0，f(4)＝4，∴f(x)max＝4，∴k≥4.B级素养提升一、选择题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为导学号03624877(A)A．239B．229C．329D．38[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝33∈[0,1]，∵f33＝239，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝239.2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上图象连续不断且f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为导学号03624878(A)A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)[解析]令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)0，∴u(x)在[a，b]上为单调减少的，∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．3．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．其中正确的命题个数是导学号03624879(A)A．0B．1C．2D．3[解析]由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为导学号03624880(C)A．[f(0)，f(5)]B．[f(0)，f(23)]C．[f(23)，f(5)]D．[c，f(5)][解析]f′(x)＝6x－4，令f′(x)＝0，则x＝23，0x23时，f′(x)0，x23时，f′(x)0，得f(23)为极小值，再比较f(0)和f(5)与f(23)的大小即可．5．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为导学号03624881(D)A．15B．16C．17D．18[解析]x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D．二、填空题6．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__－10__.导学号03624882[解析]f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－12－0＋24f(x)5－15－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.7．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝103.导学号03624883[解析]f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.1x3时，f′(x)0,3x4时，f′(x)0，故x＝3为极小值点．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b.∴b＝3，b－27a＝－6，解得a＝13，b＝3，∴a＋b＝103.三、解答题8．(2017·全国Ⅱ文，21)设函数f(x)＝(1－x2)ex.导学号03624884(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[解析](1)解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)解：f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，则h′(x)＝－xex0(x0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0a1时，设函数g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－10(x0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0x1时，f(x)(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．C级能力提高1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，abc，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)0；②f(0)f(1)0；③f(0)f(3)0；④f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是__②③__.导学号03624885[解析]∵f(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f(x)0，得1x3，由f′(x)0，得x1或x3，∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又abc，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y最大值＝f(1)＝4－abc0，y最小值＝f(3)＝－abc0.∴0abc4，∴a，b，c都大于零，或者a0，b0，c0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)0.∴f(0)f(1)0，f(0)f(3)0.∴正确结论的序号是②③.2．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，a∈R.导学号03624886(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．[解析](1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)．令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.①当a0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，当x∈(－∞，a)时，x－a0，g′(x)0，g(x)单调递增；当x∈(a,0)时，x－a0，g′(x)0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a0，g′(x)0，g(x)单调递增．所以当x＝a时，g(x